Educational Galaxy

बीजीय सर्वसमिकाओं की खोज — EG के अपने नोट्स, सरल शब्दों में

पुस्तक: Ganita Manjari — Part 1 (BSEB, Class 9)  |  अध्याय 4  |  माध्यम: हिंदी

यह पृष्ठ NCERT की NEP पुस्तक के Educational Galaxy नोट्स का हिंदी संस्करण है, जो बिहार बोर्ड के विद्यार्थियों के लिए तैयार किया गया है। बिहार बोर्ड द्वारा इस पुस्तक को निर्धारित किए जाने का दावा नहीं किया जाता।

यह पृष्ठ Educational Galaxy के अपने मूल नोट्स हैं — किताब की नकल नहीं। यहाँ कोई आधिकारिक NCERT/BSTBPC PDF नहीं दिया जाता है और यह पृष्ठ पाठ्यपुस्तक का विकल्प नहीं है।

चित्र (लेबल चित्र पर ही छपे हैं): (a + b) भुजा वाला वर्ग चार टुकड़ों में बँटा है: वर्ग a², वर्ग b² और दो आयत ab — यही चित्र बताता है कि (a + b)² = a² + 2ab + b² क्यों होता है। चित्र के सभी लेबल हिंदी में छपे हैं।

चार टुकड़ों वाली वर्ग पहेली — (a + b)² की सर्वसमिका के पीछे का चित्र।

इस अध्याय के बारे में

कोष्ठकों को हर बार हाथ से गुणा करना धीमा काम है, और धीमे काम में भूल की गुंजाइश भी अधिक होती है। बीजीय सर्वसमिकाएँ ऐसे छोटे प्रतिरूप हैं जो चरों के हर मान के लिए सच होते हैं — एक बार प्रतिरूप पहचान लिया, तो विस्तार या गुणनखंड एक ही चरण में हो जाता है। सबसे प्रसिद्ध सर्वसमिका (a + b)² = a² + 2ab + b² है, जिसे (a + b) भुजा वाले वर्ग को चार टुकड़ों में काटकर सचमुच देखा भी जा सकता है।

इस अध्याय में सर्वसमिकाओं का एक छोटा परिवार बनता है: योग और अंतर के वर्ग, गुणनफल (a + b)(a − b) = a² − b², और घन के प्रतिरूप। हर एक को पहले साधारण गुणा से सिद्ध किया जाता है, ताकि पता रहे कि वह सच है — और उसके बाद ही उसे छोटे रास्ते की तरह इस्तेमाल किया जाता है।

सर्वसमिकाएँ उल्टी भी चलती हैं: उनसे गुणनखंड किए जा सकते हैं, यानी किसी लंबे व्यंजक को सरल गुणनखंडों के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है। यही उल्टी कला आगे समीकरण हल करने और भिन्नों को सरल करने में काम आती है। बीजगणित की टाइलों से भी यही बात दिखती है: x² + 5x + 6 भुजाओं (x + 2) और (x + 3) वाला आयत बन जाता है, क्योंकि उसका क्षेत्रफल ही उसकी भुजाओं का गुणनफल है।

सर्वसमिकाएँ परिमेय व्यंजकों को भी सरल करती हैं — ऊपर-नीचे बीजगणित वाली भिन्नों को। नियम संख्याओं वाली भिन्नों जैसा ही है: पहले गुणनखंड कीजिए, फिर केवल वही गुणनखंड काटिए जो ऊपर और नीचे दोनों जगह हो। जैसे (x² − 9)/(x − 3) का गुणनखंड (x + 3)(x − 3) होता है, इसलिए (x − 3) कटकर x + 3 बचता है, बशर्ते x ≠ 3 हो।

क्या सीखना है

• मानक सर्वसमिकाओं से तेज़ी से विस्तार और गुणनखंड करना, और हर एक को गुणा से सिद्ध करना।
• दो संख्याओं का योग p और गुणनफल q खोजकर x² + px + q का गुणनखंड करना।
• पहले गुणनखंड करके और केवल पूरे गुणनखंड काटकर परिमेय व्यंजकों को सरल करना।
• घन की सर्वसमिका (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³ का प्रयोग करना।

चार्ट / तालिका: मानक सर्वसमिकाएँ

बिंदु	विवरण
(a + b)²	a² + 2ab + b²
(a − b)²	a² − 2ab + b²
(a + b)(a − b)	a² − b²
(x + a)(x + b)	x² + (a + b)x + ab
(a + b)³	a³ + 3a²b + 3ab² + b³

हल की गई विधि: x² + 7x + 12 का गुणनखंड

1. ऐसी दो संख्याएँ चाहिए जिनका योग 7 और गुणनफल 12 हो। गुणनफल 12 वाले जोड़े आज़माइए: 1 और 12 (योग 13), 2 और 6 (योग 8), 3 और 4 (योग 7)।
2. 3 और 4 का जोड़ा ठीक बैठता है, इसलिए x² + 7x + 12 = (x + 3)(x + 4)।
3. वापस गुणा करके जाँचिए: (x + 3)(x + 4) = x² + 4x + 3x + 12 = x² + 7x + 12। सही है।

अभ्यास (स्वयं करके देखें)

1. (x + 5)² का विस्तार कीजिए।
   संकेत: a = x और b = 5 लेकर (a + b)² का प्रयोग कीजिए।
2. (3x − 2)² का विस्तार कीजिए।
   संकेत: बीच के पद के चिह्न पर ध्यान दीजिए।
3. बिना लंबे गुणा के 103 × 97 निकालिए।
   संकेत: इसे (100 + 3)(100 − 3) लिखिए।
4. x² − 16 का गुणनखंड कीजिए।
   संकेत: यह दो वर्गों का अंतर है।
5. (2a + b)(2a − b) का विस्तार कीजिए।
   संकेत: यह वर्गों के अंतर का प्रतिरूप है।

प्रश्न और उत्तर

1. सिद्ध कीजिए कि (a + b)² = a² + 2ab + b²।
   गुणा कीजिए: (a + b)(a + b) = a·a + a·b + b·a + b·b = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b²।
2. (x − 7)² का विस्तार कीजिए।
   (a − b)² = a² − 2ab + b² में a = x, b = 7 रखने पर: x² − 14x + 49।
3. सर्वसमिका से 99² निकालिए।
   99 को (100 − 1) लिखिए। फिर (100 − 1)² = 10000 − 200 + 1 = 9801।
4. 9x² − 25 का गुणनखंड कीजिए।
   9x² = (3x)² और 25 = 5² है, इसलिए यह (3x)² − 5² = (3x + 5)(3x − 5) है।
5. (a + b)², a² + b² के बराबर क्यों नहीं है?
   क्योंकि (a + b)(a + b) गुणा करने पर दो आड़े पद ab + ab = 2ab भी मिलते हैं। उन्हें छोड़ देने से गलत उत्तर मिलता है, जैसे संख्याओं से दिखता है: (2 + 3)² = 25, पर 2² + 3² = 13।

विस्तार प्रश्न

1. (x + 2)³ का विस्तार कीजिए।
   (x + 2)³ = x³ + 3·x²·2 + 3·x·4 + 8 = x³ + 6x² + 12x + 8।
2. 104² सर्वसमिका से निकालिए।
   104 = 100 + 4, इसलिए (100 + 4)² = 10000 + 800 + 16 = 10816।
3. (x² − 9)/(x − 3) को सरल कीजिए (x ≠ 3)।
   ऊपर का गुणनखंड (x + 3)(x − 3) है, इसलिए (x − 3) कटकर x + 3 बचता है।
4. x² + 5x + 6 का गुणनखंड कीजिए।
   योग 5 और गुणनफल 6 वाली संख्याएँ 2 और 3 हैं, इसलिए (x + 2)(x + 3)।
5. (a − b)² को (a + b)² से कैसे पाएँ?
   (a − b)² = (a + b)² − 4ab, क्योंकि दोनों के विस्तार में केवल बीच के पद का चिह्न बदलता है।
6. सिद्ध कीजिए कि (x + 3)(x + 4) = x² + 7x + 12।
   गुणा कीजिए: x² + 4x + 3x + 12 = x² + 7x + 12।

इस पृष्ठ का उपयोग कैसे करें: पहले सार पढ़ें, मुख्य शब्द अपने शब्दों में कहें, फिर बिना देखे अभ्यास करें। अंत में प्रश्न और उत्तर से अपनी जाँच करें। अपने शिक्षक या माता-पिता से उत्तर जँचवाएँ।