Chapter 5: ऊपर-नीचे, गोल-गोल (वृत्त)
वृत्त का बस एक नियम है — केंद्र से हर बिंदु की दूरी बराबर — और उसी नियम से जीवाएँ, स्पर्श रेखाएँ और कोण निकलते हैं जो हमेशा एकमत होते हैं।
Original notes — ready Bihar Board — BSEB (Hindi Medium) • Class 9 • Mathematics • Book: Ganita Manjari — Part 1 (NEP Mirror, Hindi)
ऊपर-नीचे, गोल-गोल (वृत्त) — EG के अपने नोट्स, सरल शब्दों में
पुस्तक: Ganita Manjari — Part 1 (BSEB, Class 9) | अध्याय 5 | माध्यम: हिंदी
यह पृष्ठ NCERT की NEP पुस्तक के Educational Galaxy नोट्स का हिंदी संस्करण है, जो बिहार बोर्ड के विद्यार्थियों के लिए तैयार किया गया है। बिहार बोर्ड द्वारा इस पुस्तक को निर्धारित किए जाने का दावा नहीं किया जाता।
यह पृष्ठ Educational Galaxy के अपने मूल नोट्स हैं — किताब की नकल नहीं। यहाँ कोई आधिकारिक NCERT/BSTBPC PDF नहीं दिया जाता है और यह पृष्ठ पाठ्यपुस्तक का विकल्प नहीं है।
चित्र (लेबल चित्र पर ही छपे हैं): केंद्र O वाला वृत्त, जिसमें त्रिज्या, व्यास, जीवा और स्पर्श रेखा अलग-अलग चिह्नित हैं ताकि भाग एक नज़र में पहचाने जा सकें। चित्र के सभी लेबल हिंदी में छपे हैं।
लुढ़कता हुआ पहिया — गति में वृत्त, जिसका केंद्र, त्रिज्या और गोल किनारा अपना-अपना काम कर रहे हैं।
इस अध्याय के बारे में
वृत्त उन सभी बिंदुओं का समूह है जो एक निश्चित बिंदु, केंद्र, से समान दूरी पर हैं। उसी एक सरल नियम से कई भागों का परिवार बनता है जिनके विशेष नाम हैं: त्रिज्या, व्यास, जीवा, चाप, त्रिज्यखंड और वृत्तखंड। नाम पहले सीख लेने से अध्याय का बाकी भाग समझना आसान हो जाता है।
अध्याय के बड़े विचार इन भागों के आपसी संबंधों के बारे में हैं। व्यास त्रिज्या का दोगुना होता है। केंद्र पर बना कोण उसी चाप पर परिधि पर बने कोण का दोगुना होता है। और जो रेखा वृत्त को ठीक एक बिंदु पर छूती है — स्पर्श रेखा — वह उस बिंदु पर त्रिज्या पर हमेशा लंब होती है।
वृत्त गणित से बाहर भी हर जगह दिखते हैं: पहिए, सिक्के, पानी की लहरें और डोरी से बँधे पत्थर का रास्ता। उन्हीं रोज़मर्रा के गोलों में वही नियम देखने से प्रमेय किताब के नियम नहीं, बल्कि असली दुनिया के वर्णन लगते हैं।
दो जीवा-प्रमेय चित्र को पूरा करती हैं। पहली: केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है — केंद्र O से जीवा AB पर लंब डालिए, तो वह AB को दो बराबर भागों में काटता है। दूसरी: बराबर जीवाएँ केंद्र से बराबर दूरी पर होती हैं — इसलिए दो जीवाओं की लंबाई बराबर हो, तो केंद्र से उनकी दूरियाँ भी बराबर होती हैं, और उल्टा भी सच है। वृत्त की सममिति (केंद्र से जाने वाली हर रेखा सममिति रेखा है) के साथ ये नियम बिना मापे भी छूटी हुई लंबाइयाँ निकालने देते हैं। अध्याय चक्रीय बिंदुओं पर समाप्त होता है — एक ही वृत्त पर स्थित बिंदु। वृत्त पर A, B, C, D चार बिंदु चक्रीय चतुर्भुज बनाते हैं, और उसके सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।
क्या सीखना है
- वृत्त के भागों के नाम जानना और त्रिज्या, व्यास, जीवा, चाप, त्रिज्यखंड व वृत्तखंड में संबंध बताना।
- केंद्र-कोण प्रमेय और एक ही खंड में बने कोणों का प्रयोग करना।
- केंद्र से लंब वाले प्रमेय का प्रयोग करना: वह जीवा को समद्विभाजित करता है।
- सम्मुख कोणों का योग 180° होने से चक्रीय चतुर्भुजों की जाँच करना।
मुख्य शब्द
- त्रिज्या — वृत्त के केंद्र से उस पर स्थित किसी बिंदु तक की दूरी; एक ही वृत्त की सभी त्रिज्याएँ बराबर होती हैं।
- व्यास — केंद्र से जाने वाली जीवा; उसकी लंबाई त्रिज्या की दोगुनी होती है।
- जीवा — वृत्त पर स्थित दो बिंदुओं को जोड़ने वाला रेखाखंड।
- स्पर्श रेखा — वह रेखा जो वृत्त को ठीक एक बिंदु पर छूती है।
- चाप — वृत्त की परिधि का दो बिंदुओं के बीच का भाग।
- चक्रीय चतुर्भुज — ऐसा चतुर्भुज जिसके चारों शीर्ष एक ही वृत्त पर हों; उसके सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।
- जीवा का लंब समद्विभाजक — केंद्र से जीवा पर लंब रेखा; वह जीवा को दो बराबर भागों में काटती है, और उस पर स्थित हर बिंदु जीवा के सिरों से समान दूरी पर होता है।
याद रखें
- व्यास = 2 × त्रिज्या।
- केंद्र पर बना कोण उसी चाप पर परिधि पर बने कोण का दोगुना होता है।
- स्पर्श रेखा स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या पर लंब होती है।
- एक ही खंड में बने कोण बराबर होते हैं।
- केंद्र से लंब जीवा को समद्विभाजित करता है — और केंद्र से जीवा के मध्यबिंदु तक की रेखा उस पर लंब होती है।
- चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° होता है; इसका प्रयोग दोनों तरह से कीजिए — कोण निकालने में और चक्रीयता जाँचने में।
परीक्षा टिप / सामान्य गलती
सामान्य गलती: गणना में त्रिज्या की जगह व्यास (या व्यास की जगह त्रिज्या) इस्तेमाल कर देना। शुरू करने से पहले प्रश्न में हर त्रिज्या या व्यास को घेर लीजिए।
चार्ट / तालिका: वृत्त के भाग एक नज़र में
| बिंदु | विवरण |
|---|---|
| त्रिज्या | केंद्र से वृत्त तक — व्यास की आधी |
| व्यास | सबसे लंबी जीवा — केंद्र से जाती है |
| जीवा | वृत्त पर दो बिंदुओं को जोड़ती है |
| त्रिज्यखंड | दो त्रिज्याओं और एक चाप के बीच का क्षेत्र |
| वृत्तखंड | एक जीवा और एक चाप के बीच का क्षेत्र |
हल की गई विधि: चक्रीय चतुर्भुज का छूटा हुआ कोण
- चक्रीय चतुर्भुज ABCD में कोण A = 80° है। A के सम्मुख कोण C है।
- चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° होता है, इसलिए कोण C = 180° − 80°।
- कोण C = 100°। किसी और जानकारी की ज़रूरत नहीं — अकेला प्रमेय ही इसे तय कर देता है।
अभ्यास (स्वयं करके देखें)
- एक वृत्त की त्रिज्या 7 cm है। उसका व्यास निकालिए।
संकेत: व्यास त्रिज्या का दोगुना होता है। - एक चाप पर केंद्र पर बना कोण 100° है। उसी चाप पर परिधि पर बना कोण कितना होगा?
संकेत: केंद्र का कोण परिधि के कोण का दोगुना होता है। - एक स्पर्श रेखा वृत्त को बिंदु T पर मिलती है। स्पर्श रेखा और त्रिज्या OT के बीच का कोण कितना है?
संकेत: स्पर्श रेखा-त्रिज्या नियम के बारे में सोचिए। - दो कोण एक ही जीवा पर एक ही खंड में बने हैं। एक 42° है। दूसरा कितना है?
संकेत: एक ही खंड में बने कोण बराबर होते हैं। - एक वृत्त खींचिए, जीवा AB अंकित कीजिए और लघु खंड को छायांकित कीजिए।
संकेत: लघु खंड जीवा से कटा छोटा क्षेत्र होता है।
प्रश्न और उत्तर
- वृत्त की परिभाषा दीजिए।
वृत्त समतल में उन सभी बिंदुओं का समूह है जो एक निश्चित बिंदु, केंद्र, से एक निश्चित दूरी, त्रिज्या, पर हैं। - त्रिज्या और व्यास में क्या संबंध है?
व्यास त्रिज्या का दोगुना होता है, और वह वृत्त की सबसे लंबी जीवा है क्योंकि वह केंद्र से जाता है। - स्पर्श रेखा क्या है?
स्पर्श रेखा वह रेखा है जो वृत्त को ठीक एक बिंदु पर मिलती है। उस बिंदु पर वह त्रिज्या पर लंब होती है। - केंद्र-कोण प्रमेय बताइए।
किसी चाप द्वारा केंद्र पर बना कोण उसी चाप द्वारा परिधि के बाकी भाग पर स्थित किसी बिंदु पर बने कोण का दोगुना होता है। - त्रिज्यखंड और वृत्तखंड में क्या अंतर है?
त्रिज्यखंड दो त्रिज्याओं और एक चाप से घिरा होता है, जैसे पिज़्ज़ा का टुकड़ा। वृत्तखंड एक जीवा और एक चाप से घिरा क्षेत्र होता है — जीवा से कटा हुआ भाग।
विस्तार प्रश्न
- केंद्र पर बना कोण 140° है। उसी चाप पर परिधि पर बना कोण निकालिए।
परिधि का कोण केंद्र के कोण का आधा होता है: 140° ÷ 2 = 70°। - 12 cm लंबी जीवा के मध्यबिंदु तक केंद्र से लंब डाला गया है। जीवा के आधे भाग की लंबाई कितनी है?
लंब जीवा को समद्विभाजित करता है, इसलिए आधा भाग 12 ÷ 2 = 6 cm है। - चक्रीय चतुर्भुज में कोण B = 110° है। उसका सम्मुख कोण निकालिए।
सम्मुख कोणों का योग 180° होता है, इसलिए कोण = 180° − 110° = 70°। - एक वृत्त की त्रिज्या 10 cm है। उसकी सबसे लंबी जीवा कितनी है?
सबसे लंबी जीवा व्यास है: 2 × 10 = 20 cm। - किसी बिंदु P से वृत्त पर स्पर्श रेखा खींची गई है। स्पर्श बिंदु पर त्रिज्या से वह कितने डिग्री का कोण बनाती है?
90° — स्पर्श रेखा त्रिज्या पर हमेशा लंब होती है। - दो बराबर जीवाएँ केंद्र से 5 cm दूरी पर हैं। दूसरी जीवा की केंद्र से दूरी कितनी है?
बराबर जीवाएँ केंद्र से बराबर दूरी पर होती हैं, इसलिए दूसरी की दूरी भी 5 cm है।
वृत्त का नियम एक है: केंद्र से दूरी बराबर। व्यास त्रिज्या का दोगुना है, केंद्र का कोण परिधि के कोण का दोगुना है, स्पर्श रेखा त्रिज्या पर लंब है, और चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोण 180° तक जुड़ते हैं।
इस पृष्ठ का उपयोग कैसे करें: पहले सार पढ़ें, मुख्य शब्द अपने शब्दों में कहें, फिर बिना देखे अभ्यास करें। अंत में प्रश्न और उत्तर से अपनी जाँच करें। अपने शिक्षक या माता-पिता से उत्तर जँचवाएँ।