Class 9 Mathematics Chapter 3 संख्याओं की दुनिया

Class 9 • Mathematics • Ganita Manjari — Part 1 (BSEB)

Chapter 3: संख्याओं की दुनिया

किन्हीं दो भिन्नों के बीच अनंत और भिन्नें होती हैं — और भिन्नों से परे ऐसी संख्याएँ हैं, जैसे √2, जिन तक कोई भिन्न कभी नहीं पहुँच सकती।

Original notes — ready Bihar Board — BSEB (Hindi Medium) • Class 9 • Mathematics • Book: Ganita Manjari — Part 1 (NEP Mirror, Hindi)

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संख्याओं की दुनिया — EG के अपने नोट्स, सरल शब्दों में

पुस्तक: Ganita Manjari — Part 1 (BSEB, Class 9) | अध्याय 3 | माध्यम: हिंदी

यह पृष्ठ NCERT की NEP पुस्तक के Educational Galaxy नोट्स का हिंदी संस्करण है, जो बिहार बोर्ड के विद्यार्थियों के लिए तैयार किया गया है। बिहार बोर्ड द्वारा इस पुस्तक को निर्धारित किए जाने का दावा नहीं किया जाता।

यह पृष्ठ Educational Galaxy के अपने मूल नोट्स हैं — किताब की नकल नहीं। यहाँ कोई आधिकारिक NCERT/BSTBPC PDF नहीं दिया जाता है और यह पृष्ठ पाठ्यपुस्तक का विकल्प नहीं है।

संख्याओं की दुनिया के लिए लेबल वाला चित्र

चित्र (लेबल चित्र पर ही छपे हैं): संख्या-रेखा पर पूर्ण संख्याएँ, एक भिन्न और एक अपरिमेय संख्या अपने सही क्रम में, और संख्याओं के बीच की जगह और अधिक संख्याओं से भरी हुई। चित्र के सभी लेबल हिंदी में छपे हैं।

संख्याओं की दुनिया के लिए चित्र

सीढ़ियों का रास्ता — संख्या-रेखा की तरह, हर कदम पर एक संख्या और हर दो कदमों के बीच और भी संख्याएँ।

इस अध्याय के बारे में

आप प्राकृत संख्याएँ, पूर्ण संख्याएँ और पूर्णांक पहले से जानते हैं। यह अध्याय दुनिया को और फैलाता है: परिमेय संख्याएँ भिन्न p/q के रूप में लिखी जा सकती हैं, और फिर ऐसी संख्याएँ भी हैं जो इस तरह कभी नहीं लिखी जा सकतीं — अपरिमेय संख्याएँ, जैसे √2 और π। परिमेय और अपरिमेय संख्याएँ मिलकर वास्तविक संख्याएँ बनाती हैं, और हर वास्तविक संख्या का संख्या-रेखा पर एक स्थान है।

एक आश्चर्यजनक तथ्य यह है कि किन्हीं दो परिमेय संख्याओं के बीच अनंत और परिमेय संख्याएँ होती हैं — संख्या-रेखा हर जगह भीड़-भाड़ वाली है। और अपरिमेय संख्याएँ कोई दुर्लभ कौतूहल नहीं हैं: भुजा 1 वाले वर्ग के विकर्ण की लंबाई √2 है, जिसे कितनी भी कोशिश कर लें, भिन्न के रूप में नहीं लिखा जा सकता।

यह अध्याय यह भी दिखाता है कि संख्याओं को दशमलव रूप में कैसे लिखा जाता है। कुछ दशमलव समाप्त हो जाते हैं, कुछ हमेशा दोहराते रहते हैं, और कुछ बिना दोहराए हमेशा चलते रहते हैं — और यही प्रतिरूप ठीक-ठीक बताता है कि संख्या किस परिवार की है। यह अध्याय यह भी सिद्ध करता है कि √2 अपरिमेय है। मान लीजिए √2 को न्यूनतम पदों में p/q लिखा जा सकता है। तब p² = 2q², इसलिए p² सम है, जिससे p भी सम होना चाहिए। p = 2k लिखने पर 4k² = 2q², इसलिए q² = 2k², जिससे q भी सम हो जाता है — लेकिन p और q में कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं होना था। यह विरोधाभास दिखाता है कि ऐसी कोई भिन्न है ही नहीं, इसलिए √2 अपरिमेय है।

यह अध्याय वर्गमूल सर्पिल भी बनाता है: भुजाओं 1 और 1 वाले समकोण त्रिभुज से शुरू करें, जिसका कर्ण √2 है। उसी कर्ण पर भुजा 1 के साथ अगला त्रिभुज बनाएँ, और उसका कर्ण √3 होगा — फिर √4, और इसी तरह आगे।

क्या सीखना है

परिमेय, अपरिमेय और वास्तविक संख्याओं में अंतर करना और उनके दशमलव रूप पढ़ना।
सघनता का प्रयोग: किन्हीं दो परिमेय संख्याओं के बीच एक परिमेय संख्या खोजना।
√2 के भिन्न न हो सकने के प्रमाण के विचार को समझना।
√2, √3, √4 और आगे के लिए वर्गमूल सर्पिल बनाना।

मुख्य शब्द

परिमेय संख्या — वह संख्या जिसे p/q के रूप में लिखा जा सके, जहाँ p और q पूर्णांक हों और q शून्य न हो, जैसे 3/4 या −2।
अपरिमेय संख्या — वह संख्या जिसे p/q के रूप में नहीं लिखा जा सके, जैसे √2 या π।
वास्तविक संख्या — कोई भी परिमेय या अपरिमेय संख्या — संख्या-रेखा का हर बिंदु एक वास्तविक संख्या है।
सांत दशमलव — वह दशमलव जो कुछ अंकों के बाद समाप्त हो जाए, जैसे 0.25।
असांत आवर्ती दशमलव — वह दशमलव जो अंकों के किसी खंड को दोहराते हुए हमेशा चलता रहे, जैसे 0.333…।
परिमेय संख्याओं की सघनता — किन्हीं दो परिमेय संख्याओं के बीच हमेशा एक और परिमेय संख्या होती है — इसलिए किन्हीं दो के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं।
वर्गमूल सर्पिल — समकोण त्रिभुजों का सर्पिल, जहाँ हर नया कर्ण अगला वर्गमूल देता है: √2, फिर √3, फिर √4, और इसी तरह।

याद रखें

हर परिमेय संख्या का दशमलव या तो समाप्त होता है या दोहराता है।
जो दशमलव न कभी समाप्त हो और न कभी दोहराए, वह अपरिमेय है।
किन्हीं दो परिमेय संख्याओं के बीच अनंत परिमेय संख्याएँ होती हैं।
√2, √3 और π अपरिमेय हैं; √4 = 2 परिमेय है क्योंकि वह एक पूर्णांक के बराबर है।
विरोधाभास से प्रमाण में विपरीत मानकर दिखाया जाता है कि वह टिक नहीं सकता — √2 को इसी तरह अपरिमेय सिद्ध किया जाता है।
वर्गमूल तभी अपरिमेय होता है जब संख्या पूर्ण वर्ग न हो।

परीक्षा टिप / सामान्य गलती

सामान्य गलती: यह कहना कि π = 22/7। 22/7 केवल π का सन्निकटन है — π स्वयं अपरिमेय है और किसी भी भिन्न के ठीक बराबर नहीं हो सकता।

चार्ट / तालिका: दशमलव रूप से परिवार की पहचान

संख्या	विवरण
0.5	सांत — परिमेय (1/2)
0.333…	आवर्ती — परिमेय (1/3)
1.4142135… (√2)	असांत, अनावर्ती — अपरिमेय
0.101101110…	असांत, अनावर्ती — अपरिमेय
2.0	सांत — परिमेय (2)

हल की गई विधि: दशमलवों को परिवारों में छाँटना

0.333… देखें: अंक 3 हमेशा दोहराता है, इसलिए यह असांत आवर्ती है — परिमेय, जो 1/3 के बराबर है।
0.1010010001… देखें: अंक हमेशा चलते हैं और कभी किसी दोहराव वाले खंड में नहीं जमते — अपरिमेय।
1.5 देखें: दशमलव समाप्त होता है, इसलिए यह सांत है — परिमेय, जो 3/2 के बराबर है।
याद रखने का नियम: समाप्त होना या दोहराना परिमेय है; न समाप्त होना और न दोहराना अपरिमेय है।

अभ्यास (स्वयं करके देखें)

क्या 0.777… परिमेय है या अपरिमेय? कारण दें।
संकेत: दशमलव प्रतिरूप देखें।
1 और 2 के बीच एक परिमेय संख्या दें।
संकेत: उनके बीच कोई भी भिन्न चलेगी, जैसे 3/2।
क्या √9 परिमेय है या अपरिमेय? समझाएँ।
संकेत: √9 किसके बराबर है, यह निकालें।
3/8 को दशमलव में लिखें। क्या वह सांत है?
संकेत: 3 को 8 से भाग दें।
2 और 3 के बीच एक अपरिमेय संख्या का नाम बताएँ।
संकेत: √4 और √9 के बीच किसी वर्गमूल के बारे में सोचें।

प्रश्न और उत्तर

परिमेय संख्या क्या है? दो उदाहरण दें।
परिमेय संख्या को p/q के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ p और q पूर्णांक हों और q शून्य न हो। उदाहरण: 5/6 और −4 (जो −4/1 है)।
√2 अपरिमेय क्यों है?
√2 को न्यूनतम पदों वाली भिन्न p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता — सिद्ध किया जा सकता है कि ऐसी कोई भिन्न है ही नहीं। इसका दशमलव बिना दोहराए हमेशा चलता है।
क्या 0.1010010001… परिमेय है?
नहीं। इसका दशमलव न कभी समाप्त होता है और न किसी दोहराव वाले खंड में जमता है, इसलिए यह अपरिमेय है।
क्या हर पूर्णांक एक परिमेय संख्या है?
हाँ। किसी भी पूर्णांक n को n/1 लिखा जा सकता है, इसलिए वह परिमेय संख्या की परिभाषा में आता है।
वास्तविक संख्याएँ क्या हैं?
वास्तविक संख्याएँ सभी परिमेय संख्याएँ और सभी अपरिमेय संख्याएँ मिलकर हैं। संख्या-रेखा का हर बिंदु एक वास्तविक संख्या दर्शाता है।

विस्तार प्रश्न

1/3 और 1/2 के बीच एक परिमेय संख्या निकालें।
5/12 चलेगी: 1/3 = 4/12 और 1/2 = 6/12, और 5/12 इनके बीच है। (इनके बीच की कोई भी परिमेय संख्या सही है।)
क्या √5 परिमेय है या अपरिमेय? कारण दें।
अपरिमेय — 5 पूर्ण वर्ग नहीं है, इसलिए √5 को भिन्न के रूप में नहीं लिखा जा सकता।
क्या 0.121121112… परिमेय है? समझाएँ।
नहीं। यह न कभी समाप्त होता है और न किसी दोहराव वाले खंड में जमता है, इसलिए यह अपरिमेय है।
वर्गमूल सर्पिल में √3 के ठीक बाद कौन-सा मूल आता है?
√4, जो 2 के बराबर है — सर्पिल का चौथा कर्ण।
22/7 कभी भी π के ठीक बराबर क्यों नहीं हो सकता?
क्योंकि π अपरिमेय है और 22/7 परिमेय है; कोई परिमेय संख्या π का केवल सन्निकटन कर सकती है, उसके बराबर कभी नहीं हो सकती।
3 और 4 के बीच एक परिमेय और एक अपरिमेय संख्या दें।
परिमेय: 7/2 = 3.5। अपरिमेय: √10 (क्योंकि 9 < 10 < 16, इसलिए √10, 3 और 4 के बीच है)।

पुनरावलोकन — संख्याओं की दुनिया

समाप्त या आवर्ती दशमलव परिमेय है; असांत अनावर्ती दशमलव अपरिमेय है। परिमेय संख्याएँ हर जगह सघन हैं, और √2 जैसी संख्याएँ किसी भिन्न तक नहीं पहुँचतीं।

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