Chapter 4: दो चरों वाले रैखिक समीकरण
दो चरों वाले रैखिक समीकरण का रूप, हल और ग्राफ़।
Original notes — ready Bihar Board — BSEB (Hindi Medium) • Class 9 • Mathematics • Book: Ganit (Purani pustak — 2025 se pehle wali)
दो चरों वाले रैखिक समीकरण — EG के अपने नोट्स, सरल शब्दों में
पुस्तक: Ganit (Purani pustak — 2025 se pehle wali) (BSEB, Class 9) | अध्याय 4 | माध्यम: हिंदी
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चित्र (लेबल चित्र पर ही छपे हैं): दो चरों वाले रैखिक समीकरण का ग्राफ़ — सीधी रेखा और उसके हल — लेबल चित्र पर ही छपे हैं। यह एक सामान्य शिक्षण चित्र है।
ग्राफ़ पेपर पर सीधी रेखा खींचता छात्र — हर हल रेखा का एक बिंदु है।
नया चित्र (लेबल चित्र पर ही छपे हैं): x + y = 5 का ग्राफ़ — हल (0, 5), (2, 3) और (5, 0)।
इस अध्याय के बारे में
दो चरों वाला रैखिक समीकरण ax + by + c = 0 के रूप का होता है, जहाँ a और b दोनों शून्य नहीं होते। इसका हल (x, y) का वह युग्म है जो समीकरण को संतुष्ट करे। ऐसे समीकरण के अनगिनत हल होते हैं।
ग्राफ़ पर हर हल एक बिंदु बनता है, और सभी बिंदु एक सीधी रेखा पर आते हैं। इसलिए दो हल निकालकर रेखा खींचना ही इस समीकरण का चित्र है। रेखा x-अक्ष या y-अक्ष के समांतर भी हो सकती है — जैसे y = 3 क्षैतिज रेखा है और x = 2 ऊर्ध्वाधर रेखा है।
रोज़मर्रा के उदाहरण — जैसे दो चीज़ों की कुल कीमत — अक्सर दो चरों वाले रैखिक समीकरण बनाते हैं। पहले समीकरण बनाना, फिर हल निकालना सीखें।
क्या सीखना है
दो चरों वाले रैखिक समीकरण का रूप, हल और ग्राफ़।
मुख्य शब्द
- रैखिक समीकरण (Linear Equation) — जिसमें चर की घात 1 हो।
- हल (Solution) — समीकरण को संतुष्ट करने वाला (x, y) युग्म।
- अनगिनत हल — दो चरों वाले एक समीकरण के असंख्य हल।
- ग्राफ़ (Graph) — हलों को मिलाने वाली सीधी रेखा।
- समांतर रेखा — y = a क्षैतिज और x = a ऊर्ध्वाधर रेखा।
याद रखें
- a और b दोनों शून्य नहीं हो सकते।
- एक समीकरण के अनगिनत हल होते हैं, एक नहीं।
- दो बिंदु रेखा खींचने के लिए काफी हैं, तीसरा जाँच के लिए रखें।
- y = 3 रेखा x-अक्ष के समांतर है।
परीक्षा टिप / सामान्य गलती
सामान्य गलती: हल निकालते समय केवल x का मान लिख देना। हल हमेशा युग्म (x, y) में लिखें, जैसे (2, 3)।
Chart / Table: समीकरण और उसका ग्राफ़
| बिंदु | विवरण | टिप्पणी |
|---|---|---|
| x + y = 5 | हल (2, 3), (0, 5) | ढलती रेखा |
| y = 2x | हल (0, 0), (1, 2) | मूलबिंदु से जाती रेखा |
| y = 3 | हल (0, 3), (5, 3) | x-अक्ष के समांतर |
| x = −2 | हल (−2, 0), (−2, 4) | y-अक्ष के समांतर |
अभ्यास — Practice set (स्वयं करके देखें)
- क्या (2, 3), x + y = 5 का हल है?
संकेत: मान रखकर जाँचें। - 2x + y = 6 के दो हल निकालें।
संकेत: x = 0 और x = 1 रखकर y निकालें। - y = 4 का ग्राफ़ कैसा होगा?
संकेत: सभी बिंदुओं की कोटि 4 है। - x = 0 किस अक्ष का समीकरण है?
संकेत: x = 0 पर कौन-से बिंदु आते हैं, सोचें। - समीकरण 3x − y = 2 का एक हल बताएँ।
संकेत: x = 1 रखकर देखें।
प्रश्न और उत्तर — Questions with Answers
- दो चरों वाले रैखिक समीकरण का मानक रूप क्या है?
ax + by + c = 0, जहाँ a, b, c वास्तविक संख्याएँ हैं और a तथा b दोनों शून्य नहीं हैं। - क्या (1, 4), 2x + y = 6 का हल है?
हाँ। 2×1 + 4 = 6, समीकरण संतुष्ट होता है। - ऐसे समीकरण के कितने हल होते हैं?
अनगिनत। x का कोई भी मान रखने पर y का एक मान मिलता है, इसलिए हलों की संख्या असंख्य है। - y = 5 का ग्राफ़ कैसा है?
x-अक्ष के समांतर क्षैतिज रेखा, जो y-अक्ष को (0, 5) पर काटती है। - रेखा खींचने के लिए कितने बिंदु चाहिए?
दो बिंदु पर्याप्त हैं, पर तीसरा बिंदु जाँच के लिए रखना अच्छा अभ्यास है।
इस पृष्ठ का उपयोग कैसे करें: पहले सार पढ़ें, मुख्य शब्द अपने शब्दों में कहें, फिर बिना देखे अभ्यास करें। अंत में प्रश्न और उत्तर से अपनी जाँच करें। अपने शिक्षक या माता-पिता से उत्तर जँचवाएँ।
- a और b दोनों शून्य नहीं हो सकते।
- एक समीकरण के अनगिनत हल होते हैं, एक नहीं।
- दो बिंदु रेखा खींचने के लिए काफी हैं, तीसरा जाँच के लिए रखें।
- y = 3 रेखा x-अक्ष के समांतर है।