Chapter 11: घातांक और घात
Original notes — ready Bihar Board — BSEB (Hindi Medium) • Class 7 • Mathematics • Book: Ganit (Nayi pustak — 2025 ke baad wali)
समझें कि घातांक क्या है, घातांक के नियम क्या हैं, और मानक रूप कैसे लिखा जाता है।
घातांक और घात — EG's own notes, in simple Hindi
Book: Ganit (Nayi pustak — 2025 ke baad wali) | Chapter 11 | Medium: Hindi
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Diagram (labels are printed on the image): घातों की सामान्य तस्वीर — घनों का ढेर, पुस्तक का चित्र नहीं।
खंडों की मीनार। घातांक की सामान्य तस्वीर, पुस्तक का दृश्य नहीं।
नया चित्र (PIL से बना, लेबल चित्र पर ही छपे हैं): 2 की घातों का चित्र।
इस अध्याय के बारे में
घातांक किसी संख्या के बार-बार गुणा को छोटा लिखने का तरीका है: 2⁵ = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 32। यहाँ 2 आधार है और 5 घातांक है। किसी भी शून्येतर संख्या की घात 0 हो तो मान 1 होता है: 5⁰ = 1।
घातांक के नियम: समान आधार की घातों का गुणा करने पर घातें जुड़ती हैं (aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ); भाग में घातें घटती हैं (aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ); घात की घात में घातें गुणा होती हैं ((aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ)। ऋणात्मक घातांक का अर्थ व्युत्क्रम है: a⁻¹ = 1/a।
बड़ी संख्याओं को मानक रूप (वैज्ञानिक संकेतन) में लिखा जाता है: जैसे 1,50,000 = 1.5 × 10⁵। इससे बहुत बड़ी और बहुत छोटी संख्याओं की तुलना आसान हो जाती है।
What you should learn (क्या सीखना है)
समझें कि घातांक क्या है, घातांक के नियम क्या हैं, और मानक रूप कैसे लिखा जाता है।
मुख्य शब्द (Key Terms)
- आधार — जिस संख्या का बार-बार गुणा हो।
- घातांक — गुणा की संख्या बताने वाली घात।
- मानक रूप — a × 10ⁿ रूप, जहाँ 1 ≤ a < 10।
- व्युत्क्रम — उल्टी संख्या, जैसे 2 का 1/2।
- घात — आधार की घातांक बार गुणा।
याद रखें (Remember)
- aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ (समान आधार)।
- aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ।
- (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ।
- a⁰ = 1 (a ≠ 0); a⁻¹ = 1/a।
परीक्षा टिप / सामान्य गलती (Exam Tip / Common Mistake)
सामान्य गलती: 2³ को 2 × 3 = 6 समझना। 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 होता है — घातांक गुणा की संख्या बताता है, गुणा करने वाली संख्या नहीं।
Chart / Table: घातांक के नियम
| नियम | सूत्र | उदाहरण |
|---|---|---|
| गुणा | aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ | 2³ × 2² = 2⁵ |
| भाग | aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ | 2⁵ ÷ 2² = 2³ |
| घात की घात | (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ | (2²)³ = 2⁶ |
अभ्यास (Practice set — try it yourself)
- 2⁴ का मान क्या है?
Hint: सोचें — 2 × 2 × 2 × 2। - 3⁰ का मान बताइए।
Hint: सोचें — 1। - 2³ × 2⁴ कितना होगा?
Hint: सोचें — घातें जुड़ेंगी। - 5⁻¹ का अर्थ क्या है?
Hint: सोचें — 1/5। - 1,00,000 को मानक रूप में लिखिए।
Hint: सोचें — 1 × 10⁵।
प्रश्न और उत्तर (Questions with Answers)
- घातांक की परिभाषा उदाहरण सहित दीजिए।
घातांक बताता है कि आधार का कितनी बार गुणा हुआ है: 3⁴ = 3 × 3 × 3 × 3 = 81। यहाँ 3 आधार और 4 घातांक है। - सरल कीजिए: 5³ × 5²।
समान आधार की घातों का गुणा: घातें जुड़ती हैं — 5³⁺² = 5⁵ = 3125। - (3²)³ का मान निकालिए।
घात की घात में घातें गुणा होती हैं: (3²)³ = 3⁶ = 729। - 2⁻³ का मान क्या होगा?
2⁻³ = 1/2³ = 1/8। - 4,50,00,000 को मानक रूप में लिखिए।
4.5 × 10⁷। मानक रूप में दशमलव के पहले एक अंक होता है और 10 की घात लगती है।
- aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ (समान आधार)।
- aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ।
- (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ।
- a⁰ = 1 (a ≠ 0); a⁻¹ = 1/a।
इस पृष्ठ का उपयोग कैसे करें: सारांश पढ़ें, मुख्य शब्द अपने शब्दों में बोलें, फिर बिना देखे अभ्यास हल करें। बाद में प्रश्न और उत्तर से स्वयं की जाँच करें। अपने शिक्षक या अभिभावक से उत्तर जाँचवाएँ।