Chapter 12: सममिति
Original notes — ready Bihar Board — BSEB (Hindi Medium) • Class 7 • Mathematics • Book: Ganit (Nayi pustak — 2025 ke baad wali)
सममिति — रैखिक सममिति, विभिन्न आकृतियों की सममिति रेखाएँ और घूर्णन सममिति, तालिका सहित।
सममिति — Educational Galaxy के अपने मूल notes, सरल हिंदी में
पुस्तक: Ganit (Nayi pustak — 2025 ke baad wali) | अध्याय 12 | माध्यम: हिंदी
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Diagram (labels are printed on the image): तितली की सममिति की सामान्य तस्वीर, पुस्तक का चित्र नहीं।
सममित फूल। सममिति की सामान्य तस्वीर, पुस्तक का दृश्य नहीं।
नया चित्र (PIL से बना, लेबल चित्र पर ही छपे हैं): वर्ग की 4 सममिति रेखाएँ और घूर्णन क्रम 4।
इस अध्याय के बारे में
सममिति का अर्थ है किसी आकृति का दोनों ओर एक जैसा दिखना। जिस रेखा के दोनों ओर आकृति के भाग एक-दूसरे के दर्पण प्रतिबिंब हों, वह सममिति रेखा (अक्ष) कहलाती है। किसी आकृति को मोड़कर देखने पर, यदि दोनों भाग ठीक एक-दूसरे पर आ जाएँ, तो मोड़ की रेखा ही सममिति रेखा है। वर्ग में 4, आयत में 2, समबाहु त्रिभुज में 3 और वृत्त में अनंत सममिति रेखाएँ होती हैं।
विभिन्न आकृतियों की सममिति रेखाएँ
समद्विबाहु त्रिभुज में 1 सममिति रेखा होती है (शीर्ष से आधार के मध्यबिंदु तक), विषमबाहु त्रिभुज में 0 होती है। समचतुर्भुज में 2 सममिति रेखाएँ (दोनों विकर्ण) होती हैं — पर ध्यान दें, आयत के विकर्ण सममिति रेखाएँ नहीं होते; आयत में केवल 2 सममिति रेखाएँ (बीच की लंबी और चौड़ी रेखाएँ) होती हैं। नियमित बहुभुज में सममिति रेखाओं की संख्या भुजाओं की संख्या के बराबर होती है: नियमित पंचभुज में 5, नियमित षट्भुज में 6। वृत्त में अनंत सममिति रेखाएँ होती हैं, क्योंकि हर व्यास ही सममिति रेखा है।
घूर्णन सममिति
घूर्णन सममिति तब होती है जब आकृति को केन्द्र के चारों ओर घुमाने पर वह पहले जैसी दिखे। घूर्णन का क्रम बताता है कि पूरे चक्कर (360°) में आकृति कितनी बार पहले जैसी दिखती है। वर्ग का क्रम 4 है (हर 90° पर वह पहले जैसा दिखता है, क्योंकि 360° ÷ 4 = 90°)। समबाहु त्रिभुज का क्रम 3 है (हर 120° पर, क्योंकि 360° ÷ 3 = 120°)। आयत का क्रम 2 है (हर 180° पर)। वृत्त का घूर्णन क्रम अनंत है। रैखिक सममिति दर्पण जैसी है, जबकि घूर्णन सममिति घुमाव जैसी — दोनों एक साथ भी हो सकती हैं; वर्ग में दोनों हैं।
घूर्णन कोण = 360° ÷ घूर्णन क्रम। वर्ग: 360° ÷ 4 = 90°। समबाहु त्रिभुज: 360° ÷ 3 = 120°। आयत: 360° ÷ 2 = 180°।
आयत में 4 सममिति रेखाएँ नहीं होतीं। विकर्ण से मोड़ने पर आयत के दोनों भाग एक-दूसरे पर ठीक नहीं आते — आयत में केवल 2 सममिति रेखाएँ होती हैं। वर्ग में विकर्ण सममिति रेखाएँ होते हैं, क्योंकि वर्ग की सभी भुजाएँ बराबर हैं।
मुख्य शब्द (Key Terms)
- सममिति — दोनों ओर एक जैसा दिखना।
- सममिति रेखा — दर्पण प्रतिबिंब वाली विभाजक रेखा।
- घूर्णन सममिति — घुमाने पर पहले जैसी दिखना।
- घूर्णन क्रम — पूरे चक्कर में पहले जैसी दिखने की बार।
- घूर्णन कोण — 360° ÷ घूर्णन क्रम।
- नियमित बहुभुज — सभी भुजाएँ और सभी कोण बराबर; सममिति रेखाएँ = भुजाओं की संख्या।
याद रखें (Remember)
- वर्ग में 4 सममिति रेखाएँ होती हैं।
- आयत में 2, समबाहु त्रिभुज में 3 होती हैं।
- वृत्त में अनंत सममिति रेखाएँ होती हैं।
- वर्ग का घूर्णन क्रम 4 है, कोण 90°।
- नियमित बहुभुज में सममिति रेखाएँ भुजाओं की संख्या के बराबर होती हैं।
परीक्षा टिप / सामान्य गलती (Exam Tip / Common Mistake)
सामान्य गलती: आयत में 4 सममिति रेखाएँ बताना। आयत के विकर्ण सममिति रेखाएँ नहीं होते — आयत में केवल 2 सममिति रेखाएँ (बीच की लंबी और चौड़ी रेखाएँ) होती हैं।
Table: सममिति रेखाएँ और घूर्णन क्रम
| आकृति | सममिति रेखाएँ | घूर्णन क्रम | घूर्णन कोण |
|---|---|---|---|
| समबाहु त्रिभुज | 3 | 3 | 120° |
| समद्विबाहु त्रिभुज | 1 | 1 | 360° |
| विषमबाहु त्रिभुज | 0 | 1 | 360° |
| वर्ग | 4 | 4 | 90° |
| आयत | 2 | 2 | 180° |
| समचतुर्भुज | 2 | 2 | 180° |
| नियमित पंचभुज | 5 | 5 | 72° |
| नियमित षट्भुज | 6 | 6 | 60° |
| वृत्त | अनंत | अनंत | — |
अभ्यास (Practice set — स्वयं हल करें)
- वर्ग में कितनी सममिति रेखाएँ होती हैं?
Hint: सोचें — भुजाओं के बीच की रेखाएँ और विकर्ण। - समबाहु त्रिभुज का घूर्णन क्रम क्या है?
Hint: सोचें — पूरे चक्कर में कितनी बार पहले जैसा। - आयत में सममिति रेखाएँ कितनी होती हैं?
Hint: सोचें — विकर्ण गिनें या नहीं? - वृत्त में कितनी सममिति रेखाएँ होती हैं?
Hint: सोचें — हर व्यास। - नियमित षट्भुज में कितनी सममिति रेखाएँ होंगी?
Hint: सोचें — नियमित बहुभुज का नियम।
प्रश्न और उत्तर (Questions with Answers)
- सममिति रेखा किसे कहते हैं?
जिस रेखा के दोनों ओर आकृति के भाग एक-दूसरे के दर्पण प्रतिबिंब हों, वह सममिति रेखा कहलाती है। मोड़कर देखने पर दोनों भाग ठीक एक-दूसरे पर आ जाते हैं। - वर्ग, आयत और समबाहु त्रिभुज में सममिति रेखाएँ कितनी होती हैं?
वर्ग में 4, आयत में 2 और समबाहु त्रिभुज में 3। - घूर्णन क्रम किसे कहते हैं? वर्ग का घूर्णन क्रम और कोण बताइए।
पूरे चक्कर (360°) में आकृति जितनी बार पहले जैसी दिखती है, वही घूर्णन क्रम है। वर्ग का क्रम 4 है और घूर्णन कोण 360° ÷ 4 = 90° है। - रैखिक सममिति और घूर्णन सममिति में क्या अंतर है?
रैखिक सममिति दर्पण जैसी है — रेखा के दोनों ओर भाग एक जैसे। घूर्णन सममिति घुमाव जैसी है — केन्द्र के चारों ओर घुमाने पर आकृति पहले जैसी दिखती है। - वृत्त में अनंत सममिति रेखाएँ क्यों होती हैं?
क्योंकि वृत्त का हर व्यास ही सममिति रेखा है, और व्यास अनंत खींचे जा सकते हैं।
NCERT अभ्यास के प्रकार के अतिरिक्त प्रश्न
- समद्विबाहु और विषमबाहु त्रिभुज में सममिति रेखाएँ कितनी होती हैं?
समद्विबाहु में 1, विषमबाहु में 0। - नियमित पंचभुज का घूर्णन क्रम और घूर्णन कोण निकालिए।
क्रम 5 है (भुजाओं की संख्या के बराबर)। कोण = 360° ÷ 5 = 72°। - आयत का घूर्णन क्रम और कोण क्या है?
क्रम 2 है, कोण = 360° ÷ 2 = 180°। - समचतुर्भुज में सममिति रेखाएँ कितनी होती हैं? वे कौन-सी हैं?
2 — दोनों विकर्ण। (वर्ग से अलग, सामान्य समचतुर्भुज में बीच की रेखाएँ सममिति रेखाएँ नहीं होतीं।) - सत्य या असत्य, कारण सहित: वर्ग के विकर्ण सममिति रेखाएँ होते हैं।
सत्य — वर्ग की सभी भुजाएँ बराबर हैं, इसलिए विकर्ण से मोड़ने पर दोनों भाग ठीक एक-दूसरे पर आ जाते हैं। - सत्य या असत्य, कारण सहित: आयत के विकर्ण सममिति रेखाएँ होते हैं।
असत्य — आयत के विकर्ण से मोड़ने पर दोनों भाग एक-दूसरे पर ठीक नहीं आते। - एक आकृति का घूर्णन क्रम 6 है। उसका घूर्णन कोण निकालिए। वह कौन-सी आकृति हो सकती है?
कोण = 360° ÷ 6 = 60°। नियमित षट्भुज का क्रम 6 और कोण 60° होता है। - अंग्रेज़ी के किस अक्षर में रैखिक सममिति है: H, S, या F? (केवल आकृति के आधार पर सोचें)
H में दो सममिति रेखाएँ हैं (खड़ी और पड़ी)। S में रैखिक सममिति नहीं है (उसमें केवल घूर्णन सममिति है)। F में कोई सममिति रेखा नहीं है। - प्रकृति से सममिति के तीन उदाहरण दीजिए।
फूल, पत्तियाँ, तितलियाँ और मानव चेहरा — इनमें लगभग सममिति दिखती है। - एक वर्ग को 90° घुमाने पर वह कैसा दिखेगा?
पहले जैसा ही — क्योंकि वर्ग का घूर्णन कोण 90° है, इसलिए हर 90° के घुमाव पर वह पहले जैसी दिखती है।
- सममिति रेखा: दोनों ओर दर्पण प्रतिबिंब।
- वर्ग 4, आयत 2, समबाहु 3, वृत्त अनंत।
- नियमित बहुभुज: सममिति रेखाएँ = भुजाओं की संख्या।
- घूर्णन कोण = 360° ÷ क्रम (वर्ग 90°, समबाहु 120°, आयत 180°)।
- आयत के विकर्ण सममिति रेखाएँ नहीं होते।
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