Chapter 13: पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन
घन, घनाभ, बेलन, शंकु और गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन सूत्र।
Original notes — ready Bihar Board — BSEB (Hindi Medium) • Class 9 • Mathematics • Book: Ganit (Purani pustak — 2025 se pehle wali)
पृष्ठीय क्षेत्रफल एवं आयतन — EG के अपने नोट्स, सरल शब्दों में
पुस्तक: Ganit (Purani pustak — 2025 se pehle wali) (BSEB, Class 9) | अध्याय 13 | माध्यम: हिंदी
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चित्र (लेबल चित्र पर ही छपे हैं): बेलन के भाग — त्रिज्या, ऊँचाई और आधार — लेबल चित्र पर ही छपे हैं। यह एक सामान्य शिक्षण चित्र है।
दुकान में गोल डिब्बे और घनाकार डिब्बे जमाता दुकानदार — ठोस आकार हर दुकान में हैं।
नया चित्र (लेबल चित्र पर ही छपे हैं): बेलन की त्रिज्या r और ऊँचाई h; बेलन, शंकु और गोले के सूत्र।
इस अध्याय के बारे में
घन, घनाभ, बेलन, शंकु और गोला — इन ठोसों का पृष्ठीय क्षेत्रफल वह तल है जो बाहर दिखता है, और आयतन वह जगह है जो ठोस घेरता है। घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल 2(lb + bh + hl) और आयतन lbh होता है। घन में l = b = h होता है।
बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल 2πrh और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल 2πr(r + h) होता है; आयतन πr²h है। शंकु का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल πrl और आयतन (1/3)πr²h है। गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल 4πr² और आयतन (4/3)πr³ है।
सवालों में पहले ठोस पहचानें, फिर r, h, l लिखें। तिर्यक ऊँचाई l के लिए l² = r² + h² याद रखें। इकाइयों का ध्यान रखें — क्षेत्रफल वर्ग इकाई में, आयतन घन इकाई में।
क्या सीखना है
घन, घनाभ, बेलन, शंकु और गोले के पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन सूत्र।
मुख्य शब्द
- पृष्ठीय क्षेत्रफल (Surface Area) — ठोस के बाहरी तल का क्षेत्रफल।
- आयतन (Volume) — ठोस द्वारा घेरी गई जगह।
- वक्र पृष्ठ (Curved Surface) — बेलन/शंकु का घुमावदार तल।
- तिर्यक ऊँचाई (Slant Height) — शंकु की ढलान वाली लंबाई l, l² = r² + h²।
- त्रिज्या (Radius) — बेलन, शंकु, गोले के वृत्ताकार आधार की त्रिज्या।
याद रखें
- घनाभ: पृष्ठीय 2(lb+bh+hl), आयतन lbh।
- बेलन: वक्र 2πrh, आयतन πr²h।
- शंकु: आयतन (1/3)πr²h — बेलन का एक-तिहाई।
- गोला: पृष्ठीय 4πr², आयतन (4/3)πr³।
परीक्षा टिप / सामान्य गलती
सामान्य गलती: बेलन के वक्र पृष्ठीय और संपूर्ण पृष्ठीय क्षेत्रफल को एक समझ लेना। संपूर्ण में दोनों वृत्ताकार सिरे भी जुड़ते हैं — 2πr² और जोड़ें।
Chart / Table: ठोसों के सूत्र
| बिंदु | विवरण | टिप्पणी |
|---|---|---|
| घनाभ | 2(lb+bh+hl) | lbh |
| बेलन | 2πr(r+h) | πr²h |
| शंकु | πr(r+l) | (1/3)πr²h |
| गोला | 4πr² | (4/3)πr³ |
अभ्यास — Practice set (स्वयं करके देखें)
- घनाभ 4×3×2 का आयतन निकालें।
संकेत: lbh। - त्रिज्या 7, ऊँचाई 10 वाले बेलन का वक्र पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालें।
संकेत: 2πrh, π = 22/7। - शंकु की त्रिज्या 3, ऊँचाई 4 है। तिर्यक ऊँचाई निकालें।
संकेत: l² = r² + h²। - गोले की त्रिज्या 7 है। पृष्ठीय क्षेत्रफल निकालें।
संकेत: 4πr²। - बेलन और शंकु की त्रिज्या-ऊँचाई समान हैं। आयतनों का अनुपात क्या होगा?
संकेत: 1/3 का संबंध देखें।
प्रश्न और उत्तर — Questions with Answers
- घनाभ का पृष्ठीय क्षेत्रफल और आयतन लिखें।
पृष्ठीय क्षेत्रफल = 2(lb + bh + hl), आयतन = lbh। - बेलन का आयतन क्या है?
πr²h, जहाँ r त्रिज्या और h ऊँचाई है। - शंकु का आयतन बेलन के आयतन से कैसे जुड़ा है?
समान त्रिज्या और ऊँचाई होने पर शंकु का आयतन बेलन का एक-तिहाई होता है। - गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल लिखें।
4πr²। - तिर्यक ऊँचाई कैसे निकालते हैं?
l² = r² + h² से, यानी l = √(r² + h²)।
इस पृष्ठ का उपयोग कैसे करें: पहले सार पढ़ें, मुख्य शब्द अपने शब्दों में कहें, फिर बिना देखे अभ्यास करें। अंत में प्रश्न और उत्तर से अपनी जाँच करें। अपने शिक्षक या माता-पिता से उत्तर जँचवाएँ।
- घनाभ: पृष्ठीय 2(lb+bh+hl), आयतन lbh।
- बेलन: वक्र 2πrh, आयतन πr²h।
- शंकु: आयतन (1/3)πr²h — बेलन का एक-तिहाई।
- गोला: पृष्ठीय 4πr², आयतन (4/3)πr³।