Chapter 12: हीरोन का सूत्र
हीरोन का सूत्र, अर्धपरिमाप और चतुर्भुज के क्षेत्रफल में इसका प्रयोग।
Original notes — ready Bihar Board — BSEB (Hindi Medium) • Class 9 • Mathematics • Book: Ganit (Purani pustak — 2025 se pehle wali)
हीरोन का सूत्र — EG के अपने नोट्स, सरल शब्दों में
पुस्तक: Ganit (Purani pustak — 2025 se pehle wali) (BSEB, Class 9) | अध्याय 12 | माध्यम: हिंदी
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चित्र (लेबल चित्र पर ही छपे हैं): तीन भुजाओं वाला त्रिभुज और हीरोन सूत्र के चिह्न — लेबल चित्र पर ही छपे हैं। यह एक सामान्य शिक्षण चित्र है।
पार्क में त्रिभुजाकार फूलों की क्यारी फीते से मापता माली — हीरोन सूत्र खेत-क्यारी में काम आता है।
नया चित्र (लेबल चित्र पर ही छपे हैं): हीरोन का सूत्र — भुजाएँ a, b, c और अर्धपरिमाप s।
इस अध्याय के बारे में
त्रिभुज का क्षेत्रफल आमतौर पर ½ × आधार × ऊँचाई से निकलता है, पर जब ऊँचाई न पता हो और तीनों भुजाएँ पता हों, तब हीरोन का सूत्र काम आता है। पहले अर्धपरिमाप s = (a + b + c)/2 निकालते हैं, फिर क्षेत्रफल = √[s(s − a)(s − b)(s − c)]।
यह सूत्र किसी भी त्रिभुज पर लागू होता है — समबाहु, समद्विबाहु या विषमबाहु। चतुर्भुज का क्षेत्रफल निकालने के लिए उसे विकर्ण से दो त्रिभुजों में बाँटकर दोनों पर हीरोन का सूत्र लगाया जा सकता है।
गणना में सबसे बड़ी गलती अर्धपरिमाप में होती है — परिमाप को 2 से भाग करना न भूलें, और वर्गमूल अंतिम चरण में निकालें।
क्या सीखना है
हीरोन का सूत्र, अर्धपरिमाप और चतुर्भुज के क्षेत्रफल में इसका प्रयोग।
मुख्य शब्द
- अर्धपरिमाप (Semi-perimeter) — s = (a + b + c)/2।
- हीरोन का सूत्र — क्षेत्रफल = √[s(s−a)(s−b)(s−c)]।
- परिमाप (Perimeter) — तीनों भुजाओं का योग।
- विषमबाहु त्रिभुज — तीनों भुजाएँ असमान वाला त्रिभुज।
- विकर्ण (Diagonal) — चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में बाँटने वाली रेखा।
याद रखें
- s परिमाप का आधा है, पूरा परिमाप नहीं।
- सूत्र में s, (s−a), (s−b), (s−c) चारों गुणनखंड आते हैं।
- अंत में वर्गमूल लेना न भूलें।
- चतुर्भुज को विकर्ण से दो त्रिभुजों में बाँटें।
परीक्षा टिप / सामान्य गलती
सामान्य गलती: s की जगह पूरा परिमाप सूत्र में रख देना। पहले (a + b + c)/2 निकालें, तभी सूत्र में रखें।
Chart / Table: हीरोन सूत्र के चरण
| बिंदु | विवरण | टिप्पणी |
|---|---|---|
| 1 | भुजाएँ a, b, c लिखें | जैसे 5, 6, 7 |
| 2 | s = (a+b+c)/2 | s = 9 |
| 3 | s−a, s−b, s−c निकालें | 4, 3, 2 |
| 4 | √[s(s−a)(s−b)(s−c)] | √216 ≈ 14.7 वर्ग इकाई |
अभ्यास — Practice set (स्वयं करके देखें)
- भुजाएँ 3, 4, 5 वाले त्रिभुज का s निकालें।
संकेत: (3+4+5)/2। - भुजाएँ 5, 6, 7 वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल हीरोन सूत्र से निकालें।
संकेत: पहले s, फिर चारों गुणनखंड। - समबाहु त्रिभुज की भुजा 6 है। क्षेत्रफल क्या होगा?
संकेत: हीरोन सूत्र या √3/4 × भुजा²। - चतुर्भुज का क्षेत्रफल हीरोन से कैसे निकालेंगे?
संकेत: विकर्ण से दो त्रिभुज बनाएँ। - हीरोन सूत्र कब ज़रूरी होता है?
संकेत: जब ऊँचाई पता न हो, भुजाएँ पता हों।
प्रश्न और उत्तर — Questions with Answers
- हीरोन का सूत्र लिखें।
यदि त्रिभुज की भुजाएँ a, b, c हों और s = (a + b + c)/2 हो, तो क्षेत्रफल = √[s(s − a)(s − b)(s − c)]। - भुजाएँ 3, 4, 5 वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल निकालें।
s = 6। क्षेत्रफल = √[6×3×2×1] = √36 = 6 वर्ग इकाई। - अर्धपरिमाप क्या है?
त्रिभुज के परिमाप का आधा — s = (a + b + c)/2। - हीरोन सूत्र किस त्रिभुज पर लागू होता है?
किसी भी त्रिभुज पर — समबाहु, समद्विबाहु या विषमबाहु। - चतुर्भुज का क्षेत्रफल हीरोन से कैसे निकालते हैं?
विकर्ण खींचकर चतुर्भुज को दो त्रिभुजों में बाँटते हैं, दोनों का क्षेत्रफल हीरोन सूत्र से निकालकर जोड़ देते हैं।
इस पृष्ठ का उपयोग कैसे करें: पहले सार पढ़ें, मुख्य शब्द अपने शब्दों में कहें, फिर बिना देखे अभ्यास करें। अंत में प्रश्न और उत्तर से अपनी जाँच करें। अपने शिक्षक या माता-पिता से उत्तर जँचवाएँ।
- s परिमाप का आधा है, पूरा परिमाप नहीं।
- सूत्र में s, (s−a), (s−b), (s−c) चारों गुणनखंड आते हैं।
- अंत में वर्गमूल लेना न भूलें।
- चतुर्भुज को विकर्ण से दो त्रिभुजों में बाँटें।