Chapter 10: वृत्त
वृत्त के भाग, जीवा-केंद्र संबंध, एक ही चाप के कोण और चक्रीय चतुर्भुज।
Original notes — ready Bihar Board — BSEB (Hindi Medium) • Class 9 • Mathematics • Book: Ganit (Purani pustak — 2025 se pehle wali)
वृत्त — EG के अपने नोट्स, सरल शब्दों में
पुस्तक: Ganit (Purani pustak — 2025 se pehle wali) (BSEB, Class 9) | अध्याय 10 | माध्यम: हिंदी
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चित्र (लेबल चित्र पर ही छपे हैं): वृत्त के भाग — केंद्र, त्रिज्या, जीवा और चाप — लेबल चित्र पर ही छपे हैं। यह एक सामान्य शिक्षण चित्र है।
चाक पर गोल मिट्टी का बर्तन बनाता कुम्हार — वृत्त रोज़मर्रा के आकारों में है।
नया चित्र (लेबल चित्र पर ही छपे हैं): वृत्त के भाग — केंद्र, त्रिज्या, जीवा और चाप।
इस अध्याय के बारे में
वृत्त वह आकृति है जिसके सभी बिंदु केंद्र से समान दूरी पर होते हैं। यह दूरी त्रिज्या कहलाती है, और केंद्र से होकर जाने वाली जीवा व्यास कहलाती है — व्यास त्रिज्या का दोगुना होता है। जीवा, चाप, त्रिज्यखंड और वृत्तखंड वृत्त के मुख्य भाग हैं।
वृत्त के महत्त्वपूर्ण प्रमेय हैं: केंद्र से जीवा पर डाला गया लंब जीवा को समद्विभाजित करता है; समान जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं; अर्धवृत्त का कोण समकोण होता है; और एक ही चाप पर बने कोण बराबर होते हैं।
चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° होता है। वृत्त के सवालों में पहले केंद्र, जीवा और कोणों को चित्र में चिह्नित करें, फिर प्रमेय चुनें।
क्या सीखना है
वृत्त के भाग, जीवा-केंद्र संबंध, एक ही चाप के कोण और चक्रीय चतुर्भुज।
मुख्य शब्द
- त्रिज्या (Radius) — केंद्र से वृत्त तक की दूरी।
- व्यास (Diameter) — केंद्र से होकर जाने वाली जीवा, त्रिज्या का दोगुना।
- जीवा (Chord) — वृत्त के दो बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड।
- चाप (Arc) — वृत्त का एक भाग।
- चक्रीय चतुर्भुज (Cyclic Quadrilateral) — जिसके चारों शीर्ष वृत्त पर हों।
याद रखें
- व्यास = 2 × त्रिज्या।
- केंद्र से जीवा पर लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
- एक ही चाप पर बने कोण बराबर होते हैं।
- चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।
परीक्षा टिप / सामान्य गलती
सामान्य गलती: जीवा और व्यास को एक समझ लेना। हर व्यास जीवा है, पर हर जीवा व्यास नहीं — व्यास वही जीवा है जो केंद्र से होकर जाए।
Chart / Table: वृत्त के भाग
| बिंदु | विवरण | टिप्पणी |
|---|---|---|
| त्रिज्या | केंद्र से वृत्त तक | सभी त्रिज्याएँ बराबर |
| व्यास | केंद्र से होकर जीवा | सबसे बड़ी जीवा |
| चाप | वृत्त का भाग | लघु या दीर्घ |
| त्रिज्यखंड | दो त्रिज्या + चाप | पिज़्ज़ा स्लाइस जैसा |
अभ्यास — Practice set (स्वयं करके देखें)
- त्रिज्या 7 सेमी है। व्यास कितना होगा?
संकेत: व्यास = 2 × त्रिज्या। - केंद्र से 3 सेमी दूर जीवा पर लंब डाला गया। वह जीवा को कैसे बाँटेगा?
संकेत: समद्विभाजित करेगा। - एक ही चाप पर बने दो कोणों में एक 40° है। दूसरा क्या होगा?
संकेत: बराबर होते हैं। - चक्रीय चतुर्भुज का एक कोण 110° है। सम्मुख कोण क्या होगा?
संकेत: योग 180° होता है। - अर्धवृत्त में बना कोण कितना होता है?
संकेत: समकोण।
प्रश्न और उत्तर — Questions with Answers
- त्रिज्या और व्यास का संबंध क्या है?
व्यास त्रिज्या का दोगुना होता है। - केंद्र से जीवा पर डाले गए लंब का क्या गुण है?
वह जीवा को समद्विभाजित करता है। - एक ही चाप पर बने कोणों के बारे में क्या सत्य है?
वे बराबर होते हैं। - चक्रीय चतुर्भुज किसे कहते हैं?
जिस चतुर्भुज के चारों शीर्ष एक ही वृत्त पर स्थित हों। - अर्धवृत्त का कोण कितना होता है?
90° — समकोण।
इस पृष्ठ का उपयोग कैसे करें: पहले सार पढ़ें, मुख्य शब्द अपने शब्दों में कहें, फिर बिना देखे अभ्यास करें। अंत में प्रश्न और उत्तर से अपनी जाँच करें। अपने शिक्षक या माता-पिता से उत्तर जँचवाएँ।
- व्यास = 2 × त्रिज्या।
- केंद्र से जीवा पर लंब जीवा को समद्विभाजित करता है।
- एक ही चाप पर बने कोण बराबर होते हैं।
- चक्रीय चतुर्भुज के सम्मुख कोणों का योग 180° होता है।