Chapter 8: घातांक
घातांक का अर्थ, गुणा-भाग और घात की घात के नियम, शून्य और ऋणात्मक घातांक तथा मानक रूप में लिखना।
मूल नोट्स — तैयार Bihar Board — BSEB (Hindi Medium) • Class 7 • Mathematics • Book: Ganit (Purani pustak — 2025 se pehle wali) (BSEB, Class 7)
घातांक — EG के अपने नोट्स, सरल शब्दों में
Book: Ganit (Purani pustak — 2025 se pehle wali) (BSEB, Class 7) | अध्याय 8 | Medium: Hindi
चित्र (लेबल चित्र पर ही छपे हैं): दोगुनी होती घन की ढेरियाँ — घातांक से तेज़ वृद्धि। यह एक सामान्य शिक्षण चित्र है, पुस्तक का चित्र नहीं।
बच्चा घनों की बढ़ती मीनारें बना रहा है। यह एक सामान्य चित्र है, पुस्तक का दृश्य नहीं।
यह अध्याय किस बारे में है
जब किसी संख्या को बार-बार स्वयं से गुणा किया जाता है तो उसे घातांक रूप में लिखते हैं। जैसे 2 × 2 × 2 × 2 = 2 की घात 4, जिसे 2⁴ लिखते हैं। यहाँ 2 आधार और 4 घातांक कहलाता है। घातांक बताता है कि आधार को कितनी बार गुणा करना है।
घातांक के नियम गणना को आसान बनाते हैं। समान आधार की घातों को गुणा करने पर घातांक जुड़ते हैं: aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ। भाग करने पर घातांक घटते हैं: aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ। किसी घात की घात लेने पर घातांक गुणा होते हैं: (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ। किसी भी शून्येतर संख्या की घात शून्य 1 होती है: a⁰ = 1।
बड़ी संख्याओं को 10 की घातों से मानक रूप में लिखा जाता है, जैसे 1,50,000 = 1.5 × 10⁵। ऋणात्मक घातांक का अर्थ है व्युत्क्रम: a⁻ⁿ = 1/aⁿ, जैसे 2⁻³ = 1/8। घातांक के नियमों से बड़ी-बड़ी गुणा-भाग की गणनाएँ छोटी हो जाती हैं।
तुम्हें क्या सीखना चाहिए
घातांक का अर्थ, गुणा-भाग और घात की घात के नियम, शून्य और ऋणात्मक घातांक तथा मानक रूप में लिखना।
मुख्य शब्द
- आधार — जिस संख्या को बार-बार गुणा किया जाता है, जैसे 2⁴ में 2।
- घातांक — आधार कितनी बार गुणा होगा, यह बताने वाली संख्या, जैसे 2⁴ में 4।
- मानक रूप — बड़ी संख्या को 1 से 10 के बीच की संख्या गुणा 10 की घात के रूप में लिखना।
- व्युत्क्रम — किसी संख्या का उल्टा, जैसे 2 का व्युत्क्रम 1/2।
याद रखें
- aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ (आधार समान हो तभी)।
- aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (आधार समान हो तभी)।
- (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ — घातांक गुणा होते हैं, जुड़ते नहीं।
- a⁰ = 1 (a शून्य न हो) और a⁻ⁿ = 1/aⁿ।
परीक्षा टिप / सामान्य गलती
सामान्य गलती: 2³ को 2 × 3 = 6 समझ लेना। सही मान 2 × 2 × 2 = 8 है — घातांक गुणा की संख्या बताता है, गुणा करने वाली संख्या नहीं।
चार्ट / तालिका: 2 की घातें
| घातांक | गणना | मान |
|---|---|---|
| 2⁰ | — | 1 |
| 2¹ | 2 | 2 |
| 2² | 2 × 2 | 4 |
| 2³ | 2 × 2 × 2 | 8 |
| 2⁴ | 2 × 2 × 2 × 2 | 16 |
| 2⁻¹ | 1/2 | 0.5 |
अभ्यास — खुद करके देखो
- 2⁵ का मान निकालो।
संकेत: 2 को स्वयं से 5 बार गुणा करो। - 3⁴ × 3² को एक घात में लिखो।
संकेत: समान आधार की गुणा में घातांक जुड़ते हैं। - 5⁷ ÷ 5³ को सरल करो।
संकेत: भाग में घातांक घटते हैं। - (4²)³ को एक घात में लिखो।
संकेत: घात की घात में घातांक गुणा होते हैं। - 7⁰ और 7⁻² के मान बताओ।
संकेत: शून्य घात 1 होती है, ऋणात्मक घात व्युत्क्रम होती है।
प्रश्न और उत्तर
- घातांक किसे कहते हैं? 3⁵ का अर्थ और मान बताओ।
जब किसी संख्या को बार-बार स्वयं से गुणा किया जाए तो छोटा रूप घातांक कहलाता है। 3⁵ का अर्थ है 3 को 5 बार गुणा करना: 3 × 3 × 3 × 3 × 3 = 243। - 2³ × 2⁴ को घातांक नियम से हल करो और बिना नियम के भी जाँचो।
नियम से: घातांक जुड़ते हैं, 2³⁺⁴ = 2⁷ = 128। बिना नियम के: 8 × 16 = 128। दोनों उत्तर समान हैं। - (5²)⁴ और 5² × 5⁴ में अंतर बताओ।
(5²)⁴ में घातांक गुणा होते हैं: 5⁸। 5² × 5⁴ में घातांक जुड़ते हैं: 5⁶। दोनों अलग हैं — पहला 390625 और दूसरा 15625 होता है। - 64000 को मानक रूप में लिखो।
64000 = 6.4 × 10000 = 6.4 × 10⁴। - एक जीवाणु हर घंटे दोगुना होता है। शुरुआत में 1 जीवाणु हो तो 6 घंटे बाद कितने होंगे?
हर घंटे 2 गुना, इसलिए 6 घंटे बाद 2⁶ = 64 जीवाणु होंगे।
इस पेज का उपयोग कैसे करें: पहले सार पढ़ो, फिर मुख्य शब्द अपने शब्दों में बोलकर दोहराओ, उसके बाद बिना देखे अभ्यास करो। अंत में प्रश्न और उत्तर से अपनी जाँच करो। अपने उत्तर शिक्षक या माता-पिता से भी जाँचवाओ।
- aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ (आधार समान हो तभी)।
- aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (आधार समान हो तभी)।
- (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ — घातांक गुणा होते हैं, जुड़ते नहीं।
- a⁰ = 1 (a शून्य न हो) और a⁻ⁿ = 1/aⁿ।