Educational Galaxy

संभावना का गणित: प्रायिकता का परिचय — EG के अपने नोट्स, सरल शब्दों में

पुस्तक: Ganita Manjari — Part 1 (BSEB, Class 9)  |  अध्याय 7  |  माध्यम: हिंदी

यह पृष्ठ NCERT की NEP पुस्तक के Educational Galaxy नोट्स का हिंदी संस्करण है, जो बिहार बोर्ड के विद्यार्थियों के लिए तैयार किया गया है। बिहार बोर्ड द्वारा इस पुस्तक को निर्धारित किए जाने का दावा नहीं किया जाता।

यह पृष्ठ Educational Galaxy के अपने मूल नोट्स हैं — किताब की नकल नहीं। यहाँ कोई आधिकारिक NCERT/BSTBPC PDF नहीं दिया जाता है और यह पृष्ठ पाठ्यपुस्तक का विकल्प नहीं है।

चित्र (लेबल चित्र पर ही छपे हैं): छह फलकों वाला पासा और बराबर खंडों में बँटी चकरी — प्रायिकता के पहले प्रयोगों के दो उत्कृष्ट साधन। चित्र के सभी लेबल हिंदी में छपे हैं।

सिक्का उछालना — प्रायिकता का सबसे सरल प्रयोग, जिसमें दो समान रूप से संभव परिणाम हैं।

इस अध्याय के बारे में

जब आप सिक्का उछालते हैं, तो यह निश्चित रूप से नहीं जान सकते कि चित आएगा या पट — पर फिर भी कुछ सटीक कहा जा सकता है: दोनों परिणाम समान रूप से संभव हैं, इसलिए चित की संभावना 2 में से 1 है। प्रायिकता ‘शायद’ का गणित है: वह किसी घटना के होने की संभावना को एक संख्या देती है, असंभव के लिए 0 और निश्चित के लिए 1 के बीच।

मुख्य विचार सरल हैं। पासा फेंकने जैसा प्रयोग, परिणामों वाला कार्य है। सभी संभव परिणामों के समूह को प्रतिदर्श समष्टि कहते हैं। घटना उन परिणामों का संग्रह है जिनमें आपकी रुचि है, जैसे ‘सम संख्या आना’। उसकी प्रायिकता अनुकूल परिणामों की संख्या ÷ समान रूप से संभव कुल परिणामों की संख्या होती है।

प्रायिकता सावधानी भी सिखाती है: सिक्के की कोई याददाश्त नहीं होती, इसलिए लगातार पाँच चित आने से पट का आना ‘बकाया’ नहीं हो जाता। और 0.7 की प्रायिकता का अर्थ यह नहीं है कि थोड़े से प्रयासों में कोई चीज़ 10 में से 7 बार होगी — वह दीर्घकालिक प्रतिरूप बताती है, इसीलिए मौसम का पूर्वानुमान ‘वर्षा की 70% संभावना’ कहता है, वर्षा का वादा नहीं करता।

अध्याय प्रायिकता को प्रयोग से भी मापता है: किसी क्रिया को कई बार दोहराइए और देखिए कि सफलताओं का अंश एक स्थिर मान की ओर बढ़ता है। वही दीर्घकालिक अंश वस्तुनिष्ठ प्रायिकता है, और इसीलिए ‘वर्षा की 70% संभावना’ का अर्थ है कि वैसी ही परिस्थितियों में लगभग 10 में से 7 बार वर्षा हुई — न कि यह निश्चित है कि वर्षा होगी, और न कि सूखे दिनों के बाद वर्षा ‘बकाया’ है। संयुक्त प्रयोगों के लिए अध्याय वृक्ष आरेख इस्तेमाल करता है। दो सिक्के उछालिए और वृक्ष की शाखाएँ बनती हैं: पहली उछाल चित या पट, फिर हर शाखा से दूसरी उछाल फिर चित या पट।

क्या सीखना है

• किसी घटना की प्रायिकता अनुकूल परिणामों ÷ समान रूप से संभव कुल परिणामों के रूप में निकालना।
• प्रतिदर्श समष्टियाँ सूचीबद्ध करना, संयुक्त प्रयोगों के लिए वृक्ष आरेख सहित।
• दीर्घकालिक आवृत्ति को वस्तुनिष्ठ प्रायिकता के रूप में पढ़ना।
• P(घटना) + P(घटना नहीं) = 1 का प्रयोग करना।

चार्ट / तालिका: सरल प्रायिकताएँ

बिंदु	विवरण
निष्पक्ष सिक्का उछालना, चित	2 में से 1 अनुकूल → 1/2
पासा फेंकना, 6 आना	6 में से 1 → 1/6
पासा फेंकना, सम संख्या आना	6 में से 3 → 1/2
3 लाल, 2 नीली गेंदों में से लाल निकालना	5 में से 3 → 3/5
असंभव घटना	0

हल की गई विधि: वृक्ष आरेख से दो सिक्के

1. पहली उछाल चित और पट में बँटती है। हर एक से दूसरी उछाल फिर चित और पट में बँटती है।
2. चार रास्ते बनते हैं: HH, HT, TH, TT — सभी समान रूप से संभव हैं, इसलिए प्रतिदर्श समष्टि में 4 परिणाम हैं।
3. दो चित 1 रास्ता है: P(HH) = 1/4।
4. कम से कम एक चित 3 रास्ते हैं (HT, TH, HH): P = 3/4।

अभ्यास (स्वयं करके देखें)

1. एक थैले में 4 लाल और 6 नीली गेंदें हैं। एक गेंद यादृच्छिक निकाली जाती है। P(लाल) निकालिए।
   संकेत: अनुकूल = 4, कुल = 10।
2. एक पासा एक बार फेंका जाता है। 4 से बड़ी संख्या आने की प्रायिकता निकालिए।
   संकेत: कौन-से फलक अनुकूल गिने जाएँगे?
3. एक सिक्का दो बार उछाला जाता है। प्रतिदर्श समष्टि सूचीबद्ध कीजिए।
   संकेत: हर उछाल के 2 परिणाम हैं, इसलिए 4 जोड़े बनते हैं।
4. कल वर्षा की प्रायिकता 0.3 है। वर्षा न होने की प्रायिकता कितनी है?
   संकेत: P(घटना) + P(घटना नहीं) = 1।
5. एक चकरी में 1 से 8 तक के 8 बराबर खंड हैं। 3 के गुणज आने की प्रायिकता निकालिए।
   संकेत: 1 से 8 तक 3 के गुणज गिनिए।

प्रश्न और उत्तर

1. प्रायिकता क्या है?
   प्रायिकता 0 से 1 तक की संख्या है जो बताती है कि कोई घटना कितनी संभव है। समान रूप से संभव परिणामों के लिए यह अनुकूल परिणामों ÷ कुल परिणामों के बराबर होती है।
2. एक पासा फेंका जाता है। अभाज्य संख्या आने की प्रायिकता कितनी है?
   पासे पर अभाज्य संख्याएँ 2, 3 और 5 हैं — 6 में से 3 अनुकूल परिणाम। इसलिए P = 3/6 = 1/2।
3. किसी घटना की प्रायिकता और उसके विपरीत की प्रायिकता का योग 1 क्यों होता है?
   क्योंकि या तो घटना होती है या नहीं होती — कोई तीसरा विकल्प नहीं है — इसलिए दोनों प्रायिकताएँ मिलकर सभी परिणामों को ढक लेती हैं, जो निश्चितता यानी 1 है।
4. लगातार पाँच चित आने के बाद भी चित की प्रायिकता ½ ही रहती है?
   हाँ। हर उछाल स्वतंत्र है; सिक्के की कोई याददाश्त नहीं होती, इसलिए अगली उछाल में भी चित और पट समान रूप से संभव हैं।
5. एक थैले में 5 हरी और 5 पीली गेंदें हैं। P(हरी नहीं) कितनी है?
   P(हरी) = 5/10 = 1/2, इसलिए P(हरी नहीं) = 1 − 1/2 = 1/2। (सीधे: 5 पीली गेंदें अनुकूल हैं।)

विस्तार प्रश्न

1. दो सिक्के उछाले जाते हैं। दोनों पट आने की प्रायिकता निकालिए।
   प्रतिदर्श समष्टि HH, HT, TH, TT है; दोनों पट 1 रास्ता है: P = 1/4।
2. एक सिक्का और एक पासा एक साथ फेंके जाते हैं। चित और 6 आने की प्रायिकता निकालिए।
   कुल परिणाम 2 × 6 = 12 हैं; अनुकूल 1 है: P = 1/12।
3. दो पासे फेंके जाते हैं। योग 7 आने की प्रायिकता निकालिए।
   योग 7 वाले जोड़े 6 हैं (1+6, 2+5, 3+4, 4+3, 5+2, 6+1), कुल 36 में से: P = 6/36 = 1/6।
4. एक पासे पर 5 या 6 आने की प्रायिकता कितनी है?
   अनुकूल 2, कुल 6: P = 2/6 = 1/3।
5. कम से कम एक पट आने की प्रायिकता (दो सिक्के) कितनी है?
   3 रास्ते (HT, TH, TT): P = 3/4।
6. एक थैले में 3 लाल, 2 नीली गेंदें हैं। नीली न निकलने की प्रायिकता कितनी है?
   P(नीली) = 2/5, इसलिए P(नीली नहीं) = 1 − 2/5 = 3/5।

इस पृष्ठ का उपयोग कैसे करें: पहले सार पढ़ें, मुख्य शब्द अपने शब्दों में कहें, फिर बिना देखे अभ्यास करें। अंत में प्रश्न और उत्तर से अपनी जाँच करें। अपने शिक्षक या माता-पिता से उत्तर जँचवाएँ।