Educational Galaxy

अध्याय 2: बौधायन–पाइथागोरस प्रमेय — EG के अपने नोट्स, सरल शब्दों में

पुस्तक: गणित प्रकाश — भाग 2 (NEP Mirror — हिंदी संस्करण) (BSEB, कक्षा 8)  |  अध्याय 2  |  माध्यम: हिंदी

यह पृष्ठ NCERT की NEP पुस्तक के Educational Galaxy नोट्स का हिंदी संस्करण है, जो बिहार बोर्ड के विद्यार्थियों के लिए तैयार किया गया है। बिहार बोर्ड द्वारा इस पुस्तक को निर्धारित किए जाने का दावा नहीं किया जाता।

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चित्र (लेबल चित्र पर ही छपे हैं): समकोण त्रिभुज और उसके वर्गों का चित्र — लेबल चित्र पर ही छपे हैं।

समकोण त्रिभुज मापता विद्यार्थी — सामान्य चित्र।

अध्याय का सार

समकोण त्रिभुज में समकोण के सामने की भुजा कर्ण कहलाती है। बौधायन–पाइथागोरस प्रमेय कहती है: कर्ण² = आधार² + लंब²। यह संबंध भारत में बौधायन के शुल्बसूत्रों में पाइथागोरस से सदियों पहले मिलता है — इसीलिए पुस्तक में दोनों नाम साथ हैं।

इस प्रमेय से समकोण त्रिभुज की कोई एक अज्ञात भुजा निकाली जा सकती है, और यह भी जाँचा जा सकता है कि कोई त्रिभुज समकोण है या नहीं — यदि तीनों भुजाएँ a² + b² = c² को संतुष्ट करें तो त्रिभुज समकोण है। पाइथागोरस त्रिक जैसे (3, 4, 5), (5, 12, 13), (8, 15, 17) परीक्षा में बार-बार आते हैं।

1. प्रमेय का प्रयोग

आधार 6 cm, लंब 8 cm हो तो कर्ण = √(36 + 64) = √100 = 10 cm। उल्टा: कर्ण 13 cm और एक भुजा 5 cm हो तो दूसरी भुजा = √(169 − 25) = √144 = 12 cm — घटाना न भूलें, जोड़ना नहीं।

2. त्रिक और समकोण की जाँच

(3, 4, 5) का कोई गुणज भी त्रिक होता है: (6, 8, 10), (9, 12, 15)। जाँच: 9² + 12² = 81 + 144 = 225 = 15², इसलिए त्रिभुज समकोण है। यदि a² + b² ≠ c² हो तो त्रिभुज समकोण नहीं है।

तुम्हें क्या सीखना चाहिए

प्रमेय का कथन; अज्ञात भुजा निकालना; त्रिक; समकोण की जाँच।

चार्ट / तालिका: पाइथागोरस त्रिक

विषय	विवरण
(3, 4, 5)	9 + 16 = 25
(5, 12, 13)	25 + 144 = 169
(8, 15, 17)	64 + 225 = 289
(7, 24, 25)	49 + 576 = 625
(6, 8, 10)	(3,4,5) का दोगुना

हल विधि: अज्ञात भुजा निकालना

कर्ण 15 cm, एक भुजा 9 cm: दूसरी भुजा = √(15² − 9²) = √(225 − 81) = √144 = 12 cm।

अभ्यास (स्वयं करके देखें)

1. आधार 9 cm, लंब 12 cm — कर्ण निकालिए।
   संकेत: 15 cm।
2. कर्ण 25 cm, एक भुजा 7 cm — दूसरी भुजा निकालिए।
   संकेत: 24 cm।
3. क्या 6, 8, 10 समकोण त्रिभुज बनाते हैं?
   संकेत: हाँ, 36 + 64 = 100।
4. क्या 4, 5, 6 समकोण त्रिभुज बनाते हैं?
   संकेत: नहीं, 16 + 25 ≠ 36।
5. एक सीढ़ी दीवार से 6 m दूर, 8 m ऊँचाई तक है — सीढ़ी की लंबाई?
   संकेत: 10 m।

प्रश्न और उत्तर

1. बौधायन–पाइथागोरस प्रमेय का कथन क्या है?
   समकोण त्रिभुज में कर्ण² = आधार² + लंब²।
2. बौधायन का नाम क्यों जुड़ा है?
   क्योंकि यह संबंध भारत में बौधायन के शुल्बसूत्रों में पाइथागोरस से पहले दर्ज है।
3. कर्ण 13 cm और भुजा 5 cm हो तो दूसरी भुजा कैसे निकालेंगे?
   √(13² − 5²) = √(169 − 25) = 12 cm।
4. पाइथागोरस त्रिक क्या है?
   तीन पूर्ण संख्याएँ जो a² + b² = c² को संतुष्ट करें, जैसे (3, 4, 5)।
5. किसी त्रिभुज के समकोण होने की जाँच कैसे करें?
   सबसे लंबी भुजा को c मानकर देखें कि a² + b² = c² है या नहीं।

विस्तार प्रश्न

1. एक आयत की भुजाएँ 8 cm और 15 cm हैं — विकर्ण की लंबाई निकालिए।
2. क्या (9, 40, 41) त्रिक है? जाँचिए।

इस पृष्ठ का उपयोग कैसे करें: पहले सार पढ़ें, मुख्य शब्द अपने शब्दों में कहें, फिर बिना देखे अभ्यास करें। अंत में प्रश्न और उत्तर से अपनी जाँच करें। अपने शिक्षक या माता-पिता से उत्तर जँचवाएँ।