अध्याय 7: आनुपातिक चिंतन — 1
अनुपात और समानुपात — दो मात्राओं की तुलना और किसी मात्रा को दिए गए अनुपात में बाँटना।
मूल नोट्स — तैयार बिहार बोर्ड — BSEB (हिंदी माध्यम) • कक्षा 8 • गणित • पुस्तक: गणित प्रकाश — भाग 1 — NEP Mirror (Hindi)
अध्याय 7: आनुपातिक चिंतन — 1 — EG के अपने नोट्स, सरल शब्दों में
पुस्तक: गणित प्रकाश — भाग 1 (NEP Mirror — हिंदी संस्करण) (BSEB, कक्षा 8) | अध्याय 7 | माध्यम: हिंदी
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चित्र (लेबल चित्र पर ही छपे हैं): अनुपात में बँटी मात्रा का चित्र — लेबल चित्र पर ही छपे हैं।
अनुपात से हिस्सा बाँटते विद्यार्थी — सामान्य चित्र।
अध्याय का सार
अनुपात दो मात्राओं की तुलना है, जैसे 2 : 3। जब दो अनुपात बराबर हों तो वे समानुपात बनाते हैं: 2 : 3 = 4 : 6। अनुपात को सरलतम रूप में लिखा जाता है — दोनों पदों को उनके महत्तम समापवर्तक से भाग देकर।
किसी मात्रा को अनुपात में बाँटने के लिए कुल भागों का योग निकालें, फिर हर भाग का मान ज्ञात करें। उदाहरण: ₹900 को 2 : 3 में बाँटना — कुल 5 भाग, हर भाग ₹180, इसलिए हिस्से ₹360 और ₹540। यही विधि मिश्रण, लाभ-बाँट और नक्शे के पैमाने में काम आती है।
1. अनुपात को सरल करना
अनुपात के दोनों पदों को एक ही संख्या से गुणा या भाग करने पर अनुपात नहीं बदलता। 12 : 18 = 2 : 3 (6 से भाग देकर)। अनुपात की तुलना के लिए दोनों को समान रूप में लाना ज़रूरी है — इकाइयाँ भी समान होनी चाहिए।
2. समानुपात और ऐकिक विधि
समानुपात में बाह्य पदों का गुणनफल = मध्य पदों का गुणनफल। ऐकिक विधि में पहले एक इकाई का मान निकालते हैं, फिर जितनी चाहिए उतनी का — जैसे 5 पेन ₹75 के हों तो 1 पेन ₹15, 8 पेन ₹120।
अनुपात की तुलना तभी करें जब दोनों मात्राओं की इकाई समान हो — ₹ और पैसे को पहले एक इकाई में लाएँ।
अनुपात का क्रम महत्त्वपूर्ण है: 2 : 3, 3 : 2 से अलग है — बाँटते समय क्रम न बदलें।
बाँटने के प्रश्न में पहले कुल भाग जोड़ें, फिर एक भाग का मान निकालें — यही सबसे सुरक्षित विधि है।
तुम्हें क्या सीखना चाहिए
अनुपात सरल करना; समानुपात; ऐकिक विधि; अनुपात में बाँटना।
मुख्य शब्द
- अनुपात — दो मात्राओं की तुलना, a : b रूप में।
- समानुपात — दो बराबर अनुपातों की बराबरी, a : b = c : d।
- ऐकिक विधि — पहले एक इकाई का मान, फिर वांछित इकाइयों का मान।
- पैमाना — नक्शे की दूरी और वास्तविक दूरी का अनुपात।
याद रखें
- अनुपात सरलतम रूप में लिखें।
- समानुपात में तिर्यक गुणन: ad = bc।
- बाँटना: कुल भाग → एक भाग → हर हिस्सा।
- इकाइयाँ समान करना ज़रूरी है।
परीक्षा टिप / सामान्य गलती
सामान्य गलती: अनुपात के पदों को उल्टे क्रम में बाँट देना। प्रश्न में जिस क्रम में नाम हैं, उसी क्रम में हिस्से दें।
चार्ट / तालिका: अनुपात और समानुपात के उदाहरण
| विषय | विवरण |
|---|---|
| 12 : 18 | सरल रूप 2 : 3 |
| ₹900, 2 : 3 | ₹360 और ₹540 |
| 5 पेन = ₹75 | 1 पेन = ₹15; 8 पेन = ₹120 |
| पैमाना 1 : 100 | नक्शे पर 1 cm = वास्तव में 100 cm |
हल विधि: मात्रा को अनुपात में बाँटना
₹1500 को 3 : 2 में बाँटना: कुल भाग = 5, एक भाग = ₹300, हिस्से = 3 × 300 = ₹900 और 2 × 300 = ₹600। जाँच: 900 + 600 = 1500।
अभ्यास (स्वयं करके देखें)
- 24 : 36 को सरलतम रूप में लिखिए।
संकेत: 2 : 3। - ₹1200 को 1 : 2 : 3 में बाँटिए।
संकेत: ₹200, ₹400, ₹600। - 4 किताबें ₹160 की हैं — 7 किताबें कितने की?
संकेत: ₹280। - 2 : 5 = x : 25 में x निकालिए।
संकेत: x = 10। - पैमाना 1 : 50 पर नक्शे की 4 cm दूरी वास्तव में कितनी?
संकेत: 200 cm = 2 m।
प्रश्न और उत्तर
- अनुपात और समानुपात में क्या अंतर है?
अनुपात दो मात्राओं की तुलना है; समानुपात दो अनुपातों की बराबरी है। - किसी मात्रा को 2 : 3 में बाँटने की विधि क्या है?
कुल भाग 5, एक भाग = मात्रा ÷ 5, फिर 2 भाग और 3 भाग के हिस्से निकालें। - ऐकिक विधि क्या है?
पहले एक इकाई का मान निकालना, फिर उससे वांछित संख्या का मान निकालना। - समानुपात में तिर्यक गुणन क्यों काम करता है?
a/b = c/d से दोनों पक्षों को bd से गुणा करने पर ad = bc मिलता है। - अनुपात लिखते समय इकाई का क्या ध्यान रखना चाहिए?
दोनों मात्राएँ एक ही इकाई में होनी चाहिए, जैसे दोनों cm में या दोनों m में।
विस्तार प्रश्न
- दो संख्याओं का अनुपात 4 : 7 है और उनका योग 55 है — संख्याएँ निकालिए।
- एक नक्शे पर 5 cm, वास्तव में 2 km दर्शाता है — पैमाना निकालिए।
- अनुपात = तुलना; समानुपात = बराबर अनुपात।
- बाँटना: कुल भाग → एक भाग → हिस्से।
- ऐकिक विधि हर दर-प्रश्न की कुंजी है।
इस पृष्ठ का उपयोग कैसे करें: पहले सार पढ़ें, मुख्य शब्द अपने शब्दों में कहें, फिर बिना देखे अभ्यास करें। अंत में प्रश्न और उत्तर से अपनी जाँच करें। अपने शिक्षक या माता-पिता से उत्तर जँचवाएँ।