अध्याय 2: घातों का खेल
घातांक के नियमों से बड़ी संख्याएँ छोटी हो जाती हैं — समान आधारों को गुणा, भाग और घात लगाने की कला।
मूल नोट्स — तैयार बिहार बोर्ड — BSEB (हिंदी माध्यम) • कक्षा 8 • गणित • पुस्तक: गणित प्रकाश — भाग 1 — NEP Mirror (Hindi)
अध्याय 2: घातों का खेल — EG के अपने नोट्स, सरल शब्दों में
पुस्तक: गणित प्रकाश — भाग 1 (NEP Mirror — हिंदी संस्करण) (BSEB, कक्षा 8) | अध्याय 2 | माध्यम: हिंदी
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चित्र (लेबल चित्र पर ही छपे हैं): घातों की सीढ़ी का चित्र — 2 की घातें बढ़ते क्रम में, लेबल चित्र पर ही छपे हैं।
घातांक के नियमों से गणना करता विद्यार्थी — घातों के खेल का सामान्य चित्र।
अध्याय का सार
घातांक किसी संख्या को बार-बार गुणा करने का छोटा रूप है: 2⁵ का अर्थ है 2 को पाँच बार गुणा करना, अर्थात् 32। जब आधार समान हों तो गुणा में घातांक जुड़ते हैं, भाग में घटते हैं, और घात की घात में गुणा होते हैं। इन्हीं नियमों से बड़ी-बड़ी संख्याओं की गणना सरल हो जाती है।
ऋणात्मक घातांक का अर्थ है व्युत्क्रम: 2⁻³ = 1/2³ = 1/8। और किसी भी शून्येतर संख्या की घात शून्य 1 होती है: 5⁰ = 1। इन नियमों को समझ लेने पर मानक रूप में बहुत बड़ी या बहुत छोटी संख्याएँ लिखना आसान हो जाता है।
1. घातांक के नियम
समान आधार a के लिए: aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ; aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ; (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ। भिन्न आधारों पर भीⁿ = aⁿbⁿ लागू होता है। नियम तभी काम करते हैं जब आधार समान हो — आधार अलग हों तो पहले उन्हें समान रूप में लाना पड़ता है।
2. ऋणात्मक घातांक और मानक रूप
a⁻ⁿ = 1/aⁿ। इसलिए 10⁻³ = 0.001। मानक रूप में संख्या को a × 10ⁿ के रूप में लिखा जाता है जहाँ 1 ≤ a < 10, जैसे 45000 = 4.5 × 10⁴। वैज्ञानिक मापों में यही रूप प्रयोग होता है।
घातांक जुड़ते-घटते तभी हैं जब आधार समान हो; आधार अलग हो तो नियम सीधे नहीं लगते।
(-2)⁴ = 16 पर −2⁴ = −16 होता है — कोष्ठक का ध्यान रखें, चिह्न बदल जाता है।
पहले घातांक के नियम से सरल करें, फिर संख्यात्मक मान निकालें — सीधे बड़ी संख्याएँ गुणा करने से गलती बढ़ती है।
तुम्हें क्या सीखना चाहिए
घातांक के नियमों का प्रयोग; ऋणात्मक घातांक और शून्य घातांक; मानक रूप में संख्याएँ लिखना।
मुख्य शब्द
- घातांक — कितनी बार आधार को स्वयं से गुणा करना है, यह बताने वाली संख्या; 2⁵ में 5।
- आधार — जिस संख्या को बार-बार गुणा किया जाता है; 2⁵ में 2।
- ऋणात्मक घातांक — a⁻ⁿ = 1/aⁿ, अर्थात् व्युत्क्रम।
- मानक रूप — a × 10ⁿ रूप, जहाँ 1 ≤ a < 10।
- घात की घात — (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ।
याद रखें
- aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ; aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ।
- (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ;ⁿ = aⁿbⁿ।
- a⁰ = 1 (a ≠ 0); a⁻ⁿ = 1/aⁿ।
- मानक रूप: 1 ≤ a < 10 के साथ a × 10ⁿ।
परीक्षा टिप / सामान्य गलती
सामान्य गलती: aᵐ + aⁿ को aᵐ⁺ⁿ समझ लेना। जोड़ में घातांक नहीं जुड़ते — यह नियम केवल गुणा के लिए है।
चार्ट / तालिका: जानने योग्य घातें
| विषय | विवरण |
|---|---|
| 2 की घातें | 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024 |
| 3 की घातें | 3, 9, 27, 81, 243, 729 |
| 10 की घातें | 10, 100, 1000, 10⁴, 10⁵ |
| ऋणात्मक घातें | 2⁻¹ = 1/2, 2⁻² = 1/4, 10⁻² = 0.01 |
हल विधि: नियमों से सरलीकरण
सरल कीजिए: 2³ × 2⁴ ÷ 2² = 2³⁺⁴⁻² = 2⁵ = 32। पहले घातांक जोड़ें-घटाएँ, अंत में एक ही घात का मान निकालें।
अभ्यास (स्वयं करके देखें)
- 3⁴ × 3² को एक घात के रूप में लिखिए।
संकेत: घातांक जुड़ते हैं: 3⁶। - 5⁷ ÷ 5³ का मान निकालिए।
संकेत: 5⁴ = 625। - (2³)² को सरल कीजिए।
संकेत: 2⁶ = 64। - 4⁻² को भिन्न के रूप में लिखिए।
संकेत: 1/16। - 72000 को मानक रूप में लिखिए।
संकेत: 7.2 × 10⁴।
प्रश्न और उत्तर
- aᵐ × aⁿ = ? नियम सहित बताइए।
aᵐ⁺ⁿ — समान आधार की गुणा में घातांक जुड़ते हैं, क्योंकि गुणनखंडों की कुल गिनती जुड़ जाती है। - 2⁻³ का मान क्या है और क्यों?
1/2³ = 1/8 — ऋणात्मक घातांक व्युत्क्रम दर्शाता है। - 5⁰ = 1 क्यों होता है?
5³ ÷ 5³ = 5⁰ भी है और 125 ÷ 125 = 1 भी, इसलिए 5⁰ = 1। - (3²)³ और 3² × 3³ में क्या अंतर है?
(3²)³ = 3⁶ (घातांक गुणा), जबकि 3² × 3³ = 3⁵ (घातांक जोड़)। - 450000 को मानक रूप में कैसे लिखेंगे?
4.5 × 10⁵, क्योंकि दशमलव को 5 स्थान बाईं ओर ले जाना पड़ता है।
विस्तार प्रश्न
- (2 × 3)⁴ को दो तरीकों से सरल करके दिखाइए कि उत्तर समान है।
- क्या 2⁰ + 3⁰ = 5⁰ है? दोनों पक्षों का मान निकालकर जाँचिए।
- 10⁻⁶ मीटर को मिलीमीटर में बदलिए (1 mm = 10⁻³ m)।
- समान आधार: गुणा में जोड़, भाग में घटाव, घात की घात में गुणा।
- a⁰ = 1; a⁻ⁿ = 1/aⁿ।
- मानक रूप से बड़ी-छोटी संख्याएँ सरल होती हैं।
इस पृष्ठ का उपयोग कैसे करें: पहले सार पढ़ें, मुख्य शब्द अपने शब्दों में कहें, फिर बिना देखे अभ्यास करें। अंत में प्रश्न और उत्तर से अपनी जाँच करें। अपने शिक्षक या माता-पिता से उत्तर जँचवाएँ।